(一) 字母表（Alphabet）
定义：字母表∑是一个有穷符号集合
符号：字 母、数符号：字 母、数、标点符号、 标点符号、 …
说明：为保证排版兼容问题，未使用 MD，HTML 等语法，本文中上标使用 ^ 下标使用 _ 例如：2^3 , X_n
(1) 字母表上的运算
下面的几种运算，可以先看例子，再回过头看上面的定义，就其实很简单了
A：字母表 ∑1 和 ∑2 的乘积 ( product)
∑1∑2={ ab | a∈ ∑1, b∈ ∑2}
例： { 0, 1} {a, b} = {0a, 0b, 1a, 1b}
B：字母表 ∑ 的n次幂 ( power)
∑0 ={ ε }
∑n =∑n-1 ∑ , n ≥ 1
例子：{0，1}^3 = {0，1}{0，1}{0，1} = {000，001，010，011，100，101，110，111}
通过举例看到字母表（数字）的3次方，最后的结果，就是一些长度为3的数字串的集合
结论：字母表的n次幂：长度为n的符号串构成的集合
C：字母表 ∑ 的正闭包(positive closure)
∑+ = ∑ ∪ ∑2 ∪ ∑3 ∪ …
例：{a, b, c, d }+ = {a, b, c, d, aa, ab, ac, ad, ba, bb, bc, bd, …..., aaa, aab, aac, aad, aba, abb, abc, …...}
结论：字母表的正闭包：长度正数的符号串构成的集合
D：字母表 ∑ 的克林闭包(Kleene closure)
∑ = ∑0 ∪ ∑+ = ∑0 ∪ ∑ ∪ ∑2 ∪ ∑3 ∪ …*
例：{a, b, c, d }* = {ε, a, b, c, d, aa, ab, ac, ad, ba, bb, bc, bd, ...…, aaa, aab, aac, aad, aba, abb, abc, …...}
注：∑0 ={ ε }
总结：字母表的克林闭包：任意符号串（长度可以为零）构成的集合
(2) 串
设∑是一个字母表，任意x∈∑*，x称为是 ∑上的一个串
- 串是字母表中符号的一个有穷序列
串s的长度，通常记作|s|，是指s中符号的个数
- 例：|aab| = 3
空串是长度为0的串，用 ε (spsilon) 表示
- |ε| = 0
A：串上的运算-连接
如果 x 和 y 是串，那么 x 和 y 的连接是把 y 附加到 x 后面形成的串，记作 xy
例： x = dog ，y = house ，xy = doghouse
空串是连接运算的单位元（ identity），即，对于任何串 s 都有，εs = sε = s
设x，y，z，是三个字符串，如果x = yz，则称y是x的前缀，z是x的后缀
B：串上的运算-幂
s0= ε
sn = s^(n-1)s, n ≥1
s1 = s0 s = εs = s，s2 = ss，s3 = sss，…
例：如果 s =ba，那么s1= ba，s2=baba， s3=bababa，…
结论：串s的n次幂：将n个s连接起来
(二) 文法
(1) 文法的形式化定义
G = (V_T , V_N , P , S )
A：V_T：终结符集合
终结符（terminal symbol）是文法所定义的语言的基本符号，有时也称为token
例: V_T = { apple, boy, eat, little }
B：V_N：非终结符集合
非终结符(nonterminal) 是用来表示语法成分的符号，有时也称为“ 语法变量”
➢例：V_N = { <句子>, <名词短语>, <动词短语>, <名 词>, … }
C：P ：产生式集合
产生式( production)描述了将终结符和非终结符组合成串的方法
产生式的一般形式：α→β 读作：α 定义为 β
α∈(V_T∪V_N)+：且α中至少包含V_N中的一个元素：称为产生式的头 (head )或左部(left side)
β∈(V_T∪V_N)* ：称为产生式的体(body)或右部(right side)
D：S ：开始符号
S∈VN
开始符号(start symbol)表示的是该文法中最大的语法成分
E：例子
例：G =( { id, +, *, (, ) }, {E}, P, E )
P ={
E → E + E ,
E → E * E ,
E → ( E ) ,
E → id }
约定：不引起歧义的前提下，可以只写产生式
G : E → E + E E → E * E E → ( E ) E → id
F：产生式的简写
对一组有相同左部的α产生式
α→β1, α→β2, … , α→βn
可以简记为：
α→β1| β2| … | βn
读作：α定义为β1，或者β2，…，或者βn 。 β1，β2，…，βn称为α的候选式(Candidate)
把上面的例子，再简写一下
E → E + E E → E * E E → ( E ) E → id
E → E + E | E * E | ( E ) | id
(2) 符号约定
A：终结符
① 字母表中排在前面的小写字母，如a，b，c
② 运算符，如 +、*等
③ 标点符号，如括号，逗号等
④ 数字0，1、…、9
⑤ 粗体字符串，如id，if等
B：非终结符
① 字母表中排在前面的大写字母，如A、B、C
② 字母S，通常表示开始符号
③ 小写、斜体的名字、如expr、stmt等
④ 代表程序构造的大写字母。如E(表达式)、T(项)、F(因子)
C：文法符号
① 字母表中排在后面的大写字母(如X、Y、Z)
D：终结符号串
① 字母表中排在后面的小写字母（u、v、…、z) （包括空串）
E：文法符号串
小写希腊字母，如α、β、γ （包括空串）
第一个产生式的左部就是开始符号
(三) 语言
(1) 推导和规约
给定文法G=(VT , VN , P , S )，如果 α→β ∈ P，那么可以将符号串γαδ中的α替换为β，也就是说，将γαδ，重写(rewrite)为γβδ，记作 γαδ ==> γβδ
此时，称文法中的符号串 γαδ 直接推导(directly derive)出 γβδ
简而言之，就是用产生式的右部替换产生式的左部
(2) 句型和句子
一个开始符号 S 通过若干步，可以推导出 α，则称 α 是G的一个句型
- α 是一个文法符号串
如果 α 中的每一个 都是终结符，经过若干部可以推导出一个终结符号串 w，称 w 是 G 的一个句子
(3) 语言的形式化定义
例如下面的例子： D 可以是0或1或2... 说明其定义为数字，同理L为字母
而T的定义，可以是 L（字母）、D（数字）、TL、TD，通过右侧的推导（一直替代T）可得，最后的形式是一个字母数字串
而 S 可推出，是一个字母开头的字母数字串
(4) 文法的分类
A：0型文法
α --> β
- 无限制文法
- ∀ α --> β ∈ P，α中至少包含一个非终结符
- 0型语言
- 由0型文法G生成的语言L(G)
B：1型文法
上下文有关文法
- ∀ α --> β ∈ P，｜α｜≤｜β｜
- 产生式的一般形式：α1 A α2 --> α1 β α2
- 上下文有关语言
- 由上下文有关文法G构成的语言L(G)
- 不包含 ε-产生式
C：2型文法
上下文无关文法
-
∀α → β ∈P，α ∈ 非终结符
-
产生式的一般形式：A --> β
-
上下文无关语言
-
由上下文无关文法G构成的语言L
D：3型文法
正则文法
- 右线性文法：A --> wB 或 A --> w
- 左线性文法：A --> Bw 或 A --> w
(5) 四种文法的关系
(四) CFG 的分析树
- 根节点的标号为文法开始符号
- 内部节点表示对一个产生式 A–> β 的应用，该节点的标号是此产生式左部A。该节点的子节点的标号从左到右构成了产生式的右部 β
- 叶节点的标号既可以是非终结符，也可以是终结符。从左到右排列叶节点得到的符号串称为这棵树的产出或边缘
(1) 分析树是推导的图形化表示
(2) (句型的)短语
给定一个句型，其分析树中的每一棵子树的边缘称为该句型的一个短语
- 如果子树只有父子两代结点，那么这棵子树的边缘称为该句型的一个直接短语
举个例子：
(3) 二义性文法
如果一个文法可以为某个句子生成多棵分析树，则称这个文法是二义性的
(4) 二义性文法的判定
(五) 例题
1、文法G[S]：S→xSx｜y所描述的语言是（）（n≥0）正确答案（D）
- A．(xux)n
- B．xyxn
- C．xynx
- D．xnyxn
2、给定文法A→bA|ca，为该文法句子的是( ) 正确答案（C）
- A. bba
- B. cab
- C. bca
- D. cba
3、设有文法G[S]：S®S1|S0|Sa|Sc|a|b|c，下列符号串中是该文法的句子有( ) 正确答案（D）
- A. ab0
- B. a0b01
- C. a0b0a
- D. bc10
4、文法G产生的( )的全体是该文法描述的语言 正确答案（D）
- A. 句型
- B. 终结符集
- C. 非终结符集
- D. 句子
5、若文法G定义的语言是无限集，则文法必然是( ) 正确答案（A）
- A. 递归的
- B. 上下文无关的
- C. 二义性的
- D. 无二义性的
6、乔姆斯基(Chomsky)把文法分为四种类型，即0型、1型、2型、3型。其中3型文法是( ) 正确答案（B）
- A. 非限制文法
- B. 正则文法
- C. 上下文有关文法
- D. 上下文无关文法
7、一个上下文无关文法G包括四个组成部分，它们是一组非终结符号，一组终结符号，一个开始符号，以及一组( ) 正确答案（B）
- A. 句子
- B. 产生式
- C. 单词
- D. 句型
8、若一个文法是递归的，则它所产生的语言的句子( ) 正确答案（A）
- A. 是无穷多个
- B. 是有穷多个
- C. 是可枚举的
- D. 个数是常量
9、给定文法A→bA|cc，则符号串①cc ②bcbc ③bcbcc ④bccbcc ⑤bbbcc中，是该文法句子的是( ) 正确答案（D）
- A. ①
- B. ③④⑤
- C. ②④
- D. ①⑤
10、文法E→E+E|EE|i的句子ii+i*i有( )棵不同的语法树 正确答案（C）
- A. 1
- B. 3
- C. 5
- D. 7
11、文法 S→aaS|abc 定义的语言是( ) 正确答案（C）
-
A. {a^(2k)bc|k>0}
-
B. {a^(k)bc|k>0}
-
C . {a^(2k-1)bc|k>0}
-
D . {a(k)a(k)bc|k>0}
12、文法G：S→xSx| xS|y所识别的语言是() 正确答案（A）
- A.
- B.
- C.
- D.
13、由文法的开始符号出发经过若干步（包括0步）推导产生的文法符号序列称为( ) 正确答案（B）
- A. 语言
- B. 句型
- C. 句子
- D. 句柄
14、下列符号串不可以由符号集S＝{a,b}上的正闭包运算产生的是( ) 正确答案（A）
- A. ε
- B. a
- C. aa
- D. ab
15、文法G：S → x xS | y 所识别的语言是( ) 正确答案（D）
-
A.
-
B.
-
C.
-
D.
16、文法G：S → xS | y 所识别的语言是( ) 正确答案（D）
-
A.
-
B.
-
C.
-
D.
(十) 结尾
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