查找最小的k个元素

题目：输入n个整数，输出其中最小的k个。

例如输入1，2，3，4，5，6，7和8这8个数字，则最小的4个数字为1，2，3和4。

两种思路，无非就是时间与空间的妥协。

限制空间的时候要对原数组进行排序，最好的时间复杂度是O(nlogn)，由此可见，当牺牲一部分空间的时候会换来时间复杂度的降低。进而再想到利用一个大小为K的临时数组，来存储K个最小的值，在遍历原数组的同时，更新临时数组里的数据就OK了。那么，现在的问题就是更新临时数组，怎样才能每访问一个数据，都能使临时数组里的数据是最小的K个。自然想到选出临时数组里面的最大值，和原数组里的新访问的值进行比较，判断是否替换最大值。遍历原数组的时间复杂度是O(n)那么，选择临时数组的最大值的时间复杂度要小于O(logn)才对得住牺牲的空间复杂度。。。

现在，马上想到的选择最大值的方法是进行一趟冒泡，但时间复杂度是O(K)不见得比O(logn)小。能比O(logn)小的，自然就想到了O(logk)，见到logk就想到了二叉树或者说是堆。。。嗯，也就是大根堆

当元素个数小于k的时候，直接把原数组里面的数据直接放到临时数组里面，当达到k后，便建立大根堆——选出最大的和原数组的新数据进行比较（每次的时间复杂度为logk，这样共要进行n-k次，因此，时间复杂度是O(nlogk)。但是，还有一种做法，是原地比较，将原数组建成一个小根堆，然后输出k次，就可以在原数组末端得出最小的k个数据，这样的时间复杂度应该是max(O(n)[建堆]+O(klogn)[选出k个])，和利用临时数组的比不知哪个的时间复杂度会更低。

下面是利用临时数组的做法：

 

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
void HeapAdjust(int* a,int length,int i){
int lchild = 2 * i ;
int rchild = 2 * i + 1;
int max = i;
if(lchild < length&&a[max] < a[lchild])
  max = lchild;
if(rchild < length&&a[max] < a[rchild])
  max = rchild;
int temp = a[max];
if(max != i){
  a[max] = a[i];
  a[i] = a[max];
  HeapAdjust(a,length,max);
}
}
void HeapSort(int*temp,int*a,int length,int k){//遍历原数组，更新临时数组
for(int i = k + 1; i <= length; i++){
  if(temp[1] > a[i]){
    temp[1] = a[i];
    HeapAdjust(temp,k,1);
  }
}
void HeapBuild(int* a,int length){
for(i = length / 2; i > 0; i--)
  HeapAdjust(a,length,i);
}
void minKvalue(int* a,int length,int k){//所要求功能函数
if(k > length||k < 0||length < 0)
  return ;
int* temp = (int*)malloc(sizeof(int)*(k + 1));
int i;
for(i = 1; i <= k; i++)
  temp[i] = a[i];
BuildHeap(temp,k);
HeapSort(temp,a,length,k);
for(i = 1; i <= k; i++)
  printf("%4d",temp[i]);
printf("
");
free(temp);
}
int main(){//测试函数
int length,*a;
printf("输入数组长度:
");
scanf("%d",&length);
a = (int*)malloc(sizeof(int)*(length + 1));
printf("输入%d个数据:
");
for(int i = 1; i <= length; i++)
  scanf("%d",a + i);
minKvalue(a,temp,length,k);
free(a);