hdu 3507 斜率优化

我的第一道斜率优化。

就这道题而言，写出原始的方程：

　　dp[i] = min{ dp[j] + (sum[i]-sum[j])²  + M | j in [0,i) }

O(n^2)的复杂度肯定超时，要么优化转移，要么重写方程。

斜率优化的思想就是减少不必要的枚举（即不枚举肯定不会成为决策点的j）。

我们考虑两个位置p<q<i

“选择q比选择p优” 当且仅当 dp[q]+(sum[i]-sum[q])²+M < dp[p]+(sum[i]-sum[p])²+M

化简右边即：

[ (dp[q]+sum²[q])-(dp[p]+sum²[p]) ] / ( sum[q]-sum[p] ) < sum[i]*2

该式可以看成两个点连线的斜率：( sum[q], dp[q]+sum²[q] ) 与 ( sum[p], dp[p]+sum²[p] ) 两点。

文字语言就是：“将每个决策位置看成一个二维坐标系下的点，对于两个决策点，后者比前者优 当且仅当 两点连线的斜率小于sum[i]*2”

这样怎么减少不必要的枚举呢？

可以发现，所有决策点一定是单调不下降的（题中可能出现权值为0，此时有可能出现斜率为正无穷，若M=0，还有可能出现重点，所以计算斜率不要用除法）

上面的B点一定是不会成为最优决策点的，反证法：

如果B成为最优决策点，那么

2*sum[i]>k_ab 且 2*sum[i]<k_bc

而显然k_ab > k_bc ，这样就推出了2*sum[i]>k_ab >k_bc >2*sum[i]，矛盾。

故B不可能成为最优决策点，同理，D也不行，删掉这些点后，我们剩下的图形就是一个下凸的图形了：

 

我们维护这样一个下凸的图形到队列中：

当要查找i位置的最优决策点时，一直删除队首的点，直到队中的第一条直线的斜率大于2*sum[i]或队中只有一个点，此时队首元素就是最优决策点。

计算完i位置后，要将i位置对应的点加入到队列中，此时会删除一些对尾的点，以保持队中点的下凸性（注意处理重合的点）。

这样，我们就利用斜率优化掉了很多不必要的枚举，将时间复杂度从O(n^2)降到了O(n)。

  

#include <cstdio>
#define ln(A,B) ((B)-(A))
#define maxn 500010

typedef long long lng;

struct Vector {
    lng x, y;
    int id;
    Vector(){}
    Vector( lng x, lng y, int id ) : x(x), y(y), id(id) {}
    Vector operator-( const Vector & b ) const { return Vector(x-b.x,y-b.y,0); }
    lng operator&( const Vector & b ) const {
        return x*b.y-y*b.x;
    }
};
typedef Vector Point;

int n, m;
int cost[maxn];
lng sum[maxn];
lng dp[maxn];

int beg, end;
Point qu[maxn];

int main() {
    while( 1 ) {
        if( scanf( "%d%d", &n, &m )!=2 ) return 0;

        sum[0] = 0;
        for( int i=1; i<=n; i++ ) {
            scanf( "%d", cost+i );
            sum[i] = sum[i-1]+cost[i];
        }

        dp[0] = 0;
        qu[beg=end=0] = Point( 0, 0, 0 );

        for( int i=1; i<=n; i++ ) {
            while( end>beg && qu[beg+1].y-qu[beg].y<=(qu[beg+1].x-qu[beg].x)*2*sum[i] )
                beg++;
            int j = qu[beg].id;
            dp[i] = dp[j]+(sum[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j])+m;
            Point npt = Point( sum[i], dp[i]+sum[i]*sum[i], i );
            while( end>beg && (ln(qu[end-1],qu[end])&ln(qu[end-1],npt))<=0 )
                end--;
            qu[++end] = npt;
        }
        printf( "%lld
", dp[n] );
    }
}