如下就是傅里叶级数的公式：
其中：
三角函数形式：
代入欧拉公式：
可以变形为：
将 、
代入傅里叶级数求得：
将(2)、(3)、(4)代入得：
同理可得：
将两式代入到(5)中解得：
(注意当 时：
)
令 公式(6)简化为：
公式（6）为傅里叶级数的指数形式
然后我们来仔细研究下公式(6)
提取 由傅里叶变换的周期定义中有
（记住因为n为正整数所以积分不是致密的，比如分母是个无限不循环小数。所以一定是黎曼不可积，但是却是勒贝格可积，因为点数是可数的），于是这个公式就变成了微积分公式的累加形式，我们设
则在
中因为变量
已经被积分掉，所以唯一的变量是
，令
有：
我们得到傅里叶变换：
然后根据(8)我们得到反傅里叶变换
公式(9)、(8)为著名的傅里叶变换、反傅里叶变换
我们取上一篇的公式（7）
其中
因为傅里叶变化令 从而使一个累加的式子变成了一个积分，而DFT中
会根据输入的信号点数确定具体的值。具体计算公式为：
(注： 的计算方式是因为
的一个周期是
,N为你采样的点数) 这里纠结了很久，详见离散正弦信号的周期 三种频率之间的关系
因此我们可以简化公式为
其中：
简单的换元法。将两个公式整合后，我们可以重新定义周期中两个点的距离，从而约掉 得到：
其中(1)为离散傅里叶变换,(2)为离散傅里叶逆变化。