最长公共上升子序列$LCIS$

今天做题做到(LCIS)的题目，然后不知道为啥走神连带看知乎最后一个半小时才搞懂

所以讲(LCIS)之前也说说(LCS & LIS)

(LIS)

(LIS)又名最长上升子序列，就是让你求最长上升的序列。
话不多说，直接上代码吧，反正不是重点。这里主要讲的是二分查找优化

for(int i=2; i<=n; i++)
    {
        p=a[i];
        if(p<=f[len])
        {
            f[++len]=p;
            continue;
        }
        int l=0,r=len;
        while(l<=r)
        {
            int mid=(l+r)/2;
            if(p<=f[mid])
                l=mid+1;
            else r=mid-1;
        }
        f[l]=p;
    }

其实c++里面还有一个黑科技函数叫做(lower\_bound)，你要是不写二分查找可以用一下这个函数，挺实用的。

(LCS)

(LCS)又名最长公共子序列，复杂度如果不是特定题目的话普遍为(nm)，因为他需要遍历两个数组。
设方程(dp[i][j])表示(a)到(i)，(b)到(j)的序列时的最长长度，因此，(dp)方程显而易见的就求出来了

[dp[i][j]= egin{cases} max(dp[i-1][j],\,dp[i][j-1])\ dp[i-1][j-1],\,(a[i]=b[j])\ end{cases} ]

然后就是代码

 for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=n; j++)
        {
            dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
            if(a[i]==b[j])
                dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-1])+1;
        }

(LCIS)

这才是今天要讲的重点。

首先设一个方程(dp[i][j])表示(a)以(i)结尾，(b)以(j)结尾并且末尾一定是(b_j)的公共子序列。
首先就是转移方程(dp[i][j]=dp[i-1][j])，为啥呢。
因为这是以(b_j)结尾的，所以它需要从上一维中获得状态转移。
然后就是分两种情况，一种是(a[i]=b[j])，另一种(a[i]>b[j])。
如果(a[i]>b[j])，那肯定存在一个(a_1 cdots a_k)中必定有一个小于(b_j)，所以我们就用一个变量维护小于(b_j)的最长长度。
如果(a[i]==b[j])，那么存在两种选择，选还是不选？
如果选，那么(dp[i][j]=mx+1)，如果不选，那就是原值。所以方程为(dp[i][j]=max(dp[i][j],mx+1))。

for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			int mx=0;
			for(int j=1;j<=m;j++)
			{
				if(a[i]>b[j]) mx=max(mx,f[i-1][j]);
				f[i][j]=f[i-1][j];
				if(a[i]==b[j]) f[i][j]=max(f[i][j],mx+1);
			}
		}