明天计划上是要刷状压,但是作为现在还不会状压的(ruoruo)来说是一件非常苦逼的事情,所以提前学了一下状压(dp)。
鸣谢(hmq juju)的友情帮助
状态压缩动态规划
本博文的大体内容说明
因为刚学习状态压缩,并且刚做完一道例题。写博客的主要目的是怕自己忘掉,免得以后再重新学习一遍。而那些来踩我博客的同志们,希望以辩证的眼光来看待这篇博文。
于是这篇博客就讲(Corn Fields)这一道例题。所以阅读以下内容之前请先浏览一下题目。
基本原理
状态压缩(dp)主要是在二进制上进行状态转移的一种动态规划,因为每一个十进制的数可以表示成二进制,所以我们每一行的状态用一个十进制的数来储存。
状态压缩(dp)的主要工具
因为状态是在二进制上进行转移的,所以我们需要用到一些位运算来帮助我们进行状态转移。
- |符号,表示或运算,0|1=1,1|1=1,1|0=1,0|0=0。
- &符号,表示与运算,0&1=0,1&1=1,1&0=0,0&0=0。
- ^符号,表示异或运算,0^1=1,1^1=0,1^0=1,0^0=0。
- <<符号,表示在2进制下小数点向右移动若干位,1<<2=4,3<<1=6。
- >>符号,表示在2进制下小数点向左移动若干位,2>>1=1,13>>3=1。
- 判断数字x第i位是否是1——if (x&(1<<i))。
- 将一个数字x第i位改变为1——x|=(1<<i)。
状态压缩(dp)实现的基本过程
- 首先枚举所有的情况。根据题意,(1)表示有草,(0)表示没草,然后又有(n)位,所以我们就枚举(0sim2^n)的位数,为啥尼?
因为(0)表示没有草的情况,而(2^n)也就是(egin{matrix} underbrace{ 1cdots1 } \ nend{matrix})这种全是草的情况,所以要这样枚举。然后我们在存储合法状态,存到(state)数组里。 - 枚举完之后,我们的所有情况出来了,我们要进行存图,存图也要用二进制。这里我们存图用一个(cur)数组,这个数组表示图的存储,为了方便,我们将无草转变为(1),有草为(0)。
- 然后就是进行状态存储。我们已经有了合法状态,我们也有图,我们就要枚举判断合法状态内的可行状态。
这里我们要用到一个(fit)函数。fit函数可以帮助我们判断合不合理,然后找到可行状态 - 状态转移。设(dp[i][j])表示第(i)行的第(j)个状态。
状态转移要枚举上一层的状态。然后方程很简单(dp[i][j]=dp[i][j]+dp[i-1][k])。
例题代码讲解
首先我们看一下如何枚举状态
inline void init()//初始化
{
int sum=1<<n,i;//列举可能状态,并预存
for (i=0;i<sum;i++)
if (!(i&(i<<1)))//枚举合法状态
state[++tot]=i;
}
为什么(!(i&(i<<1)))呢,因为你只要有牧草重叠,这个数绝对不会为(0)。
然后看一下图的存储
for (i=1;i<=m;i++)
for (j=1;j<=n;j++)
{
k=read();
if (!k)
cur[i]+=(1<<(n-j));
}
为啥是左移(n-j)为呢(?)
因为你是从右往左来储存二进制的,第(j)位如果反过来肯定是第(n-j)位咯。
(fit)函数
inline bool fit(int x,int k)//判断当前状态是否符合当前行
{
return !(state[x]&cur[k]);
}
只要这一个函数理解了,状压就基本搞定了。
因为(state)存储的是合法状态,(cur)存储的是不合法状态,所以两者按位与,合法状态的数一定为(0),不合法状态的数一定不为(0)。这里有的同志就开始疑惑了,为啥尼?
你想想(state)里面(1)为有草,(cur)里面(1)为无草,而(1&1)则代表有值,那么这个方案可行吗?
就这样我们能进行第一行的初始化咯
for (i=1;i<=tot;i++)//初始化第一行
if (fit(i,1))
dp[1][i]=1;
状态转移
状态转移相对来说就比较简单了。
for (i=2;i<=m;i++)//枚举行
for (j=1;j<=tot;j++)//枚举当前状态
{
if (!fit(j,i))//如果这一层的方案不在可行方案里
continue;
for (k=1;k<=tot;k++)//枚举上一层可行状态
{
if (!fit(k,i-1))//如果这一层的方案不在可行方案里
continue;
if (state[j]&state[k])//如果上一层的可行方案与这一层可行方案冲突,意思是上下有草挨着
continue;
dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[i-1][k])%mod;//状态转移
}
}
具体可能的疑问都在代码中注释了
第一层枚举行数,第二层枚举可行方案,第三层枚举上一层的可行方案,万事大吉!
代码
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cctype>
#define mod 100000000
#define C continue//懒得打hhhhh
using namespace std;
int n,m,tot,state[1500],dp[15][1500],ans,cur[15];//dp表示当前最大值,第一维是行数,第二维是状态数,cur是每行的情况,state是预存的可能状态
inline int read()//读入优化
{
int x=0,f=1;
char c=getchar();
while (!isdigit(c))
f=c=='-'?-1:1,c=getchar();
while (isdigit(c))
x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
return x*f;
}
inline bool fit(int x,int k)//判断当前状态是否符合当前行
{
return !(state[x]&cur[k]);
}
inline void init()//初始化
{
int sum=1<<n,i;//列举可能状态,并预存
for (i=0;i<sum;i++)
if (!(i&(i<<1)))//枚举合法状态
state[++tot]=i;
}
int main()
{
int i,j,k;
m=read();
n=read();
init();
for (i=1;i<=m;i++)
for (j=1;j<=n;j++)
{
k=read();
if (!k)
cur[i]+=(1<<(n-j));
}
for (i=1;i<=tot;i++)//初始化第一行
if (fit(i,1))
dp[1][i]=1;
for (i=2;i<=m;i++)//枚举行
for (j=1;j<=tot;j++)//枚举当前状态
{
if (!fit(j,i))//如果这一层的方案不在可行方案里
continue;
for (k=1;k<=tot;k++)//枚举上一层可行状态
{
if (!fit(k,i-1))//如果这一层的方案不在可行方案里
continue;
if (state[j]&state[k])//如果上一层的可行方案与这一层可行方案冲突,意思是上下有草挨着
continue;
dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[i-1][k])%mod;//状态转移
}
}
for (i=1;i<=tot;i++)
ans=(ans+dp[m][i])%mod;
printf("%d",ans);
return 0;
}