函数学习总结

函数

函数的概念

一

​ 一般的，我们有：

​ 设\(A\)，\(B\)是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系\(f\)，使对于集合\(A\)种的任意一个数\(x\)，在集合\(B\)中都有唯一确定的数\(f(x)\)和它对应，那么就称\(f:A\to B\)为从集合\(A\)到集合\(B\)的一个函数，记作

\[y=f(x),x\in A. \]

其中，\(x\)叫自变量，\(x\)的取值范围\(A\)叫做函数的定义域。

二

设\(a\)，\(b\)是两个实数，而且\(a<b\)，我们规定：

1. \(a\leqslant x\leqslant b\) 的实数\(x\)的集合叫做闭区间，表达为\([a,b]\);
2. \(a< x< b\) 的实数\(x\)的集合叫做开区间，表达为\((a,b)\)
3. \(a< x\leqslant b\) 的实数\(x\)的集合叫做半开半闭区间，表达为\((a,b]\).

实数集\(R\)可以用区间表示为\((-\infty,\infty)\)

函数的表达法

映射

​ 1．定义域的遍历性：X中的每个元素x在映射的值域中都有对应对象

​ 2．对应的唯一性：定义域中的一个元素只能与映射值域中的一个元素对应

函数的基本性质

单调性

1.增函数

​ 一般地,设函数\(f(x)\)的定义域为\(D\),如果对于定义域\(D\)内的某个区间上的任意两个自变量的值\(x1\),\(x2\),当\(x1<x2\)时,都有\(f(x1)<f(x2)\),那么就说\(f(x)\)在这个区间上是增函数。 此区间就叫做函数\(f(x)\)的单调增区间。
随着\(x\)增大,\(y\)增大者为增函数。

2.减函数

​ 一般地,设函数\(f(x)\)的定义域为\(D\),如果对于定义域\(D\)内的某个区间上的任意两个自变量的值\(x1\),\(x2\),当\(x1<x2\)时,都有\(f(x1)>f(x2)\),那么就说\(f(x)\)在这个区间上是减函数。 此区间就叫做函数\(f(x)\)的单调减区间。
随着\(x\)增大,\(y\)减小者为增函数。

奇偶性

1.奇函数

对于一个定义域关于原点对称的函数\(f(x)\)的定义域内任意一个\(x\)，都有\(f(-x)=-f(x)\)，那么函数\(f(x)\)就叫做奇函数.

2.偶函数

对于一个定义域关于原点对称的函数\(f(x)\)的定义域内任意一个\(x\)，都有\(f(-x)=f(x)\)，那么函数\(f(x)\)就叫做偶函数.