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  • 莫比乌斯反演学习小结(未完待续)

    莫比乌斯反演

    基础公式

    [F(n)=sum_{d|n}f(d)\f(n)=sum_{d|n}F(d)μ(frac{n}{d}) ]

    一般使用的公式

    [[gcd(i,j)=1]=sum_{d|gcd(i,j)}mu(d)\sum_{d|n}mu(d)=[n=1]\--------------------- ]

    [sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m[gcd(i,j)=x]=sum_{d=1}^{min({lfloorfrac{n}{x} floor},{lfloorfrac{m}{x} floor})}{lfloorfrac{n}{dx} floor}{lfloorfrac{m}{dx} floor} ]

    例子

    1.

    [sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=k] (n<m)\Downarrow \=sum_{i=1}^{lfloorfrac{n}{k} floor}sum_{j=1}^{lfloorfrac{m}{k} floor}[gcd(i,j)=1] ]

    2.

    [sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=1] (n<m)\Downarrow\=sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m}sum_{d|gcd(i,j)}mu(d) ]

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