基本概念
数论函数
定义域属于整数集，值域属于复数集的函数被称为数论函数或是算术函数。
在OI中，我们所需要考虑的数论函数值域一般也属于整数集。
积性函数
设整数集合D满足条件：若(m,nin D)，则(mnin D)。
如果定义在集合D上的数论函数(f(n))满足(f(mn)=f(m)f(n),(m,n)=1)则称其为积性函数。
特别地，如果数论函数(f(n))满足(f(mn)=f(m)f(n))则称其为完全积性函数。
一些较常见的积性函数如下：
欧拉函数(varphi (i)=模i的既约剩余系的元素个数)
约数个数函数(d(i)=i的约数个数)
约数和函数(sigma (i)=i的约数和)
一些较常见的完全积性函数如下：
常函数(I(i)=1)
单位函数(epsilon (i)=[i==1])
恒等函数(id(i)=i)
此外，本文将会提到的莫比乌斯函数(mu (i))也是积性函数。
积性函数常用定理
设(f(n))是不恒为零的数论函数，对于(n>1)设(n=Pi p_i^{a_i})，那么(f(n))是积性函数的充要条件是(f(1)=1)以及(f(n)=Pi f(p_i^{a_i}))
必要性的证明是显然的。
充分性：设(n=Pi p_i^{s_i}, m=Pi p_j^{s_j})，当((n,m)=1)时，(nm=Pi p_i^{s_i}Pi p_j^{s_j})，所以有(f(mn)=f(Pi p_i^{s_i}Pi p_j^{s_j})\=Pi f(p_i^{s_i})Pi f(p_j^{s_j})\=f(m)f(n))
所以(f(n))是积性函数。
这个定理表明一个积性函数完全由它在(p_i^{a_i})上的取值决定。
莫比乌斯函数
莫比乌斯函数(mu (i)=left{ egin{aligned}1,d=1\(-1)^r,d=Pi p_i\0,其他情况 end{aligned} ight.)
莫比乌斯函数拥有一个十分重要的性质：
设(n)是正整数，那么有(sum _{d|n} mu {d}= leftlfloorfrac{1}{n} ight floor =left{ egin{aligned}1,n=1\0,n>1 end{aligned} ight.)
这个结论的证明较为显然，设(n=Pi p_i^{s_i})，那么有 (sum _{d|n} mu(d)=sum _{d|Pi p_i^{s_i}} mu(d)=1-C^1_s+C^2_s-...+(-1)^sC^s_s\=(1-1)^s=0)
OI中莫比乌斯反演多与gcd函数有关，此处还有一个小结论([gcd(x,y)==1]=sum_{d|gcd(x,y)}mu(d))
莫比乌斯变换
对于给定的数论函数(f(n))，考虑一种运算：(F(n)=sum _{d|n}f(d))
称(F(n))为(f(n))的莫比乌斯变换，(f(n))为(F(n))的莫比乌斯逆变换。
几个常见的莫比乌斯变换关系((f(n),F(n)))如下：
((n,sigma(n)))
((varphi(n),n))
((mu(n),leftlfloorfrac{1}{n} ight floor))
莫比乌斯反演
莫比乌斯反演是对于给出的数论函数(f(n))，求其莫比乌斯变换或是莫比乌斯逆变换的过程，这个公式通常被称为莫比乌斯反转公式。
基本内容
设(f(m),F(n))为数论函数，那么(F)为(f)的莫比乌斯变换的充要条件为(f(n)=sum _{d|n}mu(d)F(frac{n}{d}))
先证明其充分性：
(sum _{d|n}f(d)=sum _{d|n}left{ sum_{k|d}mu(k)F(frac{d}{k}) ight}\=sum_{k|n}mu(k)sum_{k|d,d|n}F(frac{d}{k}))
令(d=kl)，那么可以得到
(sum_{d|n}f(d)=sum_{k|n}mu(k)sum_{l|frac{n}{k}}F(l)\=sum_{l|n}F(l)sum_{k|frac{n}{l}}mu(k)\=F(n))
注意此处最后一步运用了我们在讲莫比乌斯函数时得到的推论，即莫比乌斯函数的莫比乌斯变换为(lfloorfrac{1}{n} floor)。
必要性：
将(F(n)=sum_{d|n}f(d))代入得到(sum_{d|n}mu(d)F(frac{n}{d})=sum_{d|n}mu(d)sum_{l|frac{n}{d}}f(l)\=sum_{l|n}f(l)sum_{d|frac{n}{l}}mu(d)\=f(n))
最后一步同样用到了证明充分性时的技巧：将外面的莫比乌斯函数移到最内层，然后运用结论消掉。
线性筛
莫比乌斯函数
回顾莫比乌斯函数的定义，对于(n=Pi p_i^{s_i}，frac{n}{m}=p_k)，如果(s_k=1)，那么显然有(mu(n)=-mu(m))。
否则，(mu(n)=0)。
那么这个时候我们可以直接通过线性筛筛出莫比乌斯函数的值，代码如下：
mu[1]=1;
for (register int i=2; i<=maxn; ++i) {
if (!isprime[i]) prime[++tot]=i,mu[i]=-1;
for (register int j=1; j<=tot&&i*prime[j]<maxn; ++j) {
isprime[i*prime[j]]=1;
if (i%prime[j]==0) {
mu[i*prime[j]]=0;
break;
} else mu[i*prime[j]]=-1*mu[i];
}
}
欧拉函数
欧拉函数求的是(|{x|xin [1,n],xin Z^+,(x,n)=1}|)。
可以化简出式子：(varphi(n)=nPi(1-frac{1}{p_i}))，实质是减去不与(n)互质的数。
对于(n,frac{n}{m}=p_k)，如果(frac{n}{m}|m)，那么(varphi(n)=varphi(m)*p_k)，否则(varphi(n)=varphi(m)*(p_k-1))。
phi[1]=1;
for (register int i=2; i<maxn; ++i) {
if (!isprime[i]) prime[++tot]=i,phi[i]=i-1;
for (register int j=1; j<=tot&&i*prime[j]<maxn; ++j) {
isprime[i*prime[j]]=1;
if (i%prime[j]==0) {
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
break;
} else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
}
}