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  • 素数的检测

    因子检测

    """
    检测因子,时间复杂度O(n^(1/2))
    """
    def is_prime(n):
        if n < 2:
            return False
        for i in xrange(2, int(n**0.5+1)):
            if n%i == 0:
                return False
        return True
    

    费马小定理

    """
    费马小定理
    如果n是一个素数,a是小于n的任意正整数,那么a的n次方与a模n同余
    
    实现方法
    选择一个底数(例如2),对于大整数p,如果2^(p-1)与1不是模p同余数,则p一定不是素数;否则,则p很可能是一个素数
    2**(n-1)%n 不是一个容易计算的数字
    
    模运算规则
    (a^b) % p = ((a % p)^b) % p
    (a * b) % p = (a % p * b % p) % p
    计算X^N(% P)
    可以
    如果N是偶数,那么X^N =(X*X)^[N/2];
    如果N是奇数,那么X^N = X*X^(N-1) = X *(X*X)^[N/2];
    
    """
    
    def xn_mod_p(x, n, p):
        if n == 0:
            return 1
        res = xn_mod_p((x*x)%p, n>>1, p)
        if n&1 != 0:
            res = (res*x)%p
        return res
    
    """
    也可以归纳为下面的算法 两个函数是一样的
    """
    def xn_mod_p2(x, n, p):
        res = 1
        n_bin = bin(n)[2:]
        for i in range(0, len(n_bin)):
            res = res**2 % p
            if n_bin[i] == '1':
                res = res * x % p
        return res
    
    
    
    """
    有了模幂运算快速处理就可以实现费马检测
    费马测试当给出否定结论时,是准确的,但是肯定结论有可能是错误的,对于大整数的效率很高,并且误判率随着整数的增大而降低
    """
    def fermat_test_prime(n):
        if n == 1:
            return False
        if n == 2:
            return True
        res = xn_mod_p(2, n-1, n)
        return res == 1
    

    MILLER-RABIN检测

    """
    Miller-Rabin检测是目前应用比较广泛的一种
    二次探测定理:如果p是一个素数,且0<x<p,则方程x^2%p=1的解为:x=1或x=p-1
    费马小定理:a^(p-1) ≡ 1(mod p)
    
    这就是Miller-Rabin素性测试的方法。不断地提取指数n-1中的因子2,把n-1表示成d*2^r(其中d是一个奇数)。那么我们需要计算的东西就变成了a的d*2^r次方除以n的余数。于是,a^(d * 2^(r-1))要么等于1,要么等于n-1。如果a^(d * 2^(r-1))等于1,定理继续适用于a^(d * 2^(r-2)),这样不断开方开下去,直到对于某个i满足a^(d * 2^i) mod n = n-1或者最后指数中的2用完了得到的a^d mod n=1或n-1。这样,Fermat小定理加强为如下形式:
    尽可能提取因子2,把n-1表示成d*2^r,如果n是一个素数,那么或者a^d mod n=1,或者存在某个i使得a^(d*2^i) mod n=n-1 ( 0<=i<r ) (注意i可以等于0,这就把a^d mod n=n-1的情况统一到后面去了)
    
    
    定理:若n是素数,a是小于n的正整数,则n对以a为基的Miller测试,结果为真.
    Miller测试进行k次,将合数当成素数处理的错误概率最多不会超过4^(-k)
    """
    def miller_rabin_witness(a, p):
        if p == 1:
            return False
        if p == 2:
            return True
    
        #p-1 = u*2^t  求解 u, t
        n = p - 1
        t = int(math.floor(math.log(n, 2)))
        u = 1
        while t > 0:
            u = n / 2**t
            if n % 2**t == 0 and u % 2 == 1:
                break
            t = t - 1
    
        b1 = b2 = xn_mod_p2(a, u, p)
        for i in range(1, t + 1):
            b2 = b1**2 % p
            if b2 == 1 and b1 != 1 and b1 != (p - 1):
                return False
            b1 = b2
        if b1 != 1:
            return False
    
        return True
    
    def prime_test_miller_rabin(p, k):
        while k > 0:
            a = randint(1, p - 1)
            if not miller_rabin_witness(a, p):
                return False
            k = k - 1
        return True
    

    参考摘录自 http://www.codinglabs.org/html/prime-test.html

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    指针的引用
  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/imouren/p/2860536.html
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