初级模拟电路：4-2 交流电阻与输入输出电阻

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1. 交流分析与交流电阻

      我们曾经在 1-4二极管的电阻 大致讲过交流电阻的特性，交流电阻并不是一个实际的可直接测量的物理量，而是一个抽象的量（是伏安曲线上某点处的斜率）。这里我们再花一个小节详细解释一下，为什么不用简单明了的普通电阻（即直流电阻）概念，还要专门去发明抽象的“交流电阻”这一概念？

      首先我们必须明确一点，一样东西被发明出来，肯定不是为了折腾自己，让事情复杂化，而是要使解决问题变得更简单。其实，用交流电阻来分析电路中的小信号情况比只用直流电阻要更加直观和简单，下面我们通过一个例子详细说明这一点。

      由于在模拟电路中，很多都是非线性的伏安关系曲线，而且大多没有太精确的数学表达式，故只能用图解法去近似求解。比如在下图中，给你一个非线性器件的伏安曲线，然后指定一个输入电压v₁，让你求对应的输出电流i₁，你怎么求？

图4-2.01 

      答案是没什么太好的办法，只能在图上用尺子量。假若再指定v2、v3、……，让你求对应的i2、i3、……，怎么求？答案同样是没什么快捷方法，还是只能一次次在图上量，很麻烦。

      好，就算这个还能勉强从图上量出来。下面再假设，输入电压不是恒定值，而是一个变化量，比如正弦电压，表达式为：v(t)=sin(t)，让你求对应的电流表达式i(t)，怎么求？

      如果是个线性电阻，电流表达式很好求，电流=电压 / 电阻：i(t)=v(t)/R = sin(t)/R

      但如果是非线性器件，就完全没办法了。（当然，也不是彻底没办法，可以在图上画很多点，然后量出一系列的i-v对应点，再用曲线耦合的方法去估一个多项式表达式，非常麻烦）。

      好，那现在问题变一下，假设我们在器件上施加一个如下图所示的含直流分量和小信号正弦分量的电压：v(t) = V_Q + a*sin(t)，（其中，V_Q为其直流分量，a为正弦信号的幅值，且V_Q远大于a），

图4-2.02 

      让你求对应的电流表达式i(t)，请问可不可以？答案是可以的，分析思路如下：

      • a. 首先，我们可以利用作图法或其他分析方法（如上一章的各种BJT直流分析算式），算出输入电压的直流分量V_Q对应的电流直流分量I_Q，如下图所示：

图4-2.03 

      其中，R_Q = V_Q/I_Q 就是Q点的直流电阻。

      • b. 然后我们观察电压信号在非线性伏安曲线上的变化范围：

图4-2.04 

      可以看到，输入电压v只在V_Q点上下一个很小范围内波动，在如此小的一块范围内，我们可以把伏安曲线近似视为直线，如下图所示：

图4-2.05 

      • c. 假设近似直线的斜率为k，我们可以很容易地写出在这个小范围内的任意一点v_x的i-v对应关系式，见下图所示：

图4-2.06 

      上图中，电流i的表达式为：

      写出上式后，v_x为任意的表达式都可以很方便地表示出电流i，就拿我们上面给出的v(t) = V_Q + a*sin(t)来说，将v(t)作为v_x代入上式，可求得：

      如果把输入电压v(t)写成直流分量加交流分量的表示形式：

      （上式中，v_sig表示交流分量，由于交流分量总是随时间变化的，故省略“(t)”也不影响含义的表达，而且更简洁）

      那么，对应电流 i 就可以写成：

      • d. 最后的问题就是，斜率k怎么求。我们再回来看那个局部放大图：

图4-1.07 

      如果v_range的范围足够小，根据高数中的微分中值定理（也叫拉格朗日公式、有限增量公式），那么可以用原曲线Q点处的切线斜率（即曲线在原Q点处的导数）作为近似直线的斜率。这个斜率就是Q点处的交流电导g_sig，交流电导的倒数即为交流电阻r_sig：

      所以，交流电阻的来源是原非线性曲线在Q点处的斜率，这是一个抽象的量，且曲线在各个不同位置的斜率并不相同，故不同的Q点有不同的交流电阻。

      然后再把这个交流电阻r_sig代入上面的输出电流i表达式：

      可以看到，在对应电流i的表达式中，直流和交流完全可以隔离表达（直流分量与直流电阻运算、交流分量与交流分量运算），如此就可大大简化计算。一般可以从厂商给出的BJT数据规格书中查到所需的交流电阻。

2. 输入电阻与输出电阻

      输入输出电阻这个概念，对于放大器来讲非常重要，尤其在多级放大器中，这是一个非常重要的设计指标。遗憾的是，很多模电教材上都对此概念都不详细讲，直接默认读者已经掌握了这一基础概念；但先导的电路原理课程，很多时候也不会专门去讲这个概念。因此会导致初学者在学习模拟电路的时候产生困惑，这里我们将其作为交流分析的前置基础知识，单独讲一个小节，以阐明其基本原理。

（1）非理想电源

      对于理想电压源来说，并不存在输入/输出电阻这一问题，理想电压源对于任何负载，其输出都是一个恒定的电压值。但是，现实中所有的电源都是非理想的，都会有一个内阻的存在，如下图所示：

图4-2.08 

      图中，由于内阻R_S的存在，使得非理想电压源的输出电压U_OUT会受负载R_L的影响很大。举例来说：在U_S=5V，R_S=1Ω的情况下，若负载R_L=100Ω，输出电压U_OUT为：

      看上去似乎没什么大问题。但是，若负载R_L=1Ω时，输出电压U_OUT即变为：

      电压源的输出电压U_OUT只有原来的一半左右，效率非常低。若是负载为R_L=0.1Ω，输出电压U_OUT只有0.45V，完全没法用。

      因此，我们可以看出其中的一些应用规律：

      对于电源来说，内阻的阻值越小越好。比如：若内阻R_S只有0.001Ω，即便负载R_L=0.1Ω时，也能输出约4.95V。

      而对于负载来说，负载的阻值越大越好。比如，若负载阻值为R_L=10kΩ时，即便内阻R_S为100Ω也没太大问题。

（2）输入电阻

      我们将这个规律放到放到具体放大器中来看。下图是一个简单的分压偏置共射放大器：

图4-2.09 

      上图分为三个部分，我们从左到右一点点看。

      对于“输入信号源”和“放大器”来说，“输入信号源”就相当于一个非理想电源，“放大器”的输入端就相当于负载（电容C₁和C₂在这里对于交流信号可视为短路），如下图所示：

图4-2.10 

      输入信号源的内阻受条件限制一般为固定值，那为了使输入信号电压u_s能尽可能多地能加载到放大器上，而不是消耗在信号源的内阻上，我们就要使放大器的输入端的等效负载电阻尽可能地大。

      由于这个等效负载电阻是从信号源的角度向放大器的输入端看入的，故我们一般把这个等效负载电阻称为：放大器的输入电阻R_IN。这也就是为什么人们常常会简要地说，输入电阻越大越好。

（3）输出电阻

      我们再看右边2个部分，对于“放大器”和“外部负载”来说，“放大器”就相当于非理想电源，“外部负载”就相当于负载，如下图所示：

图4-2.11 

      由于外部负载的阻值为固定值，那么为了使放大器的输出信号能尽可能多地加载到外部负载上，而不是消耗在放大器内部，我们就要使放大器输出端的内阻尽可能地小。

      由于这个内阻是从外部负载的角度向放大器的输出端看入的，故我们一般把这个电阻称为：放大器的输出电阻R_OUT。这也就是为什么人们常常会简要地说，输出电阻越小越好。

（4）交流输入输出电阻

      上面为阐释概念方便，我们在放大器的输入端和输出端，只等效了交流部分。更严格来讲，放大器的输入端和输出端其实都同时包含直流分量和交流分量。一个同时包含直流分量和交流分量的非理想电源如下图所示：

图4-2.12 

      图中，信号源为一个含有直流分量U_DC和交流分量u_sig的混合源，内阻为R_S。对于普通的线性电阻负载R_L，其输出电压u_OUT的表达式为：

      从上式可见，输出电压u_OUT也可以分为直流部分和交流部分，而且可从信号源的直流部分U_DC和交流部分u_sig分别算得。这是当负载和电源内阻都为普通的线性电阻时分析情况，比较简单。

      而由于放大器一般采用BJT晶体管或FET场效应管，都是非线性器件，所以放大器的输入端的输入电阻并不能简单等效为一个线性电阻R_IN，而是要等效成一个非线性器件。同样的，放大器的输出端的输出电阻（即输出等效电路中的内阻），也不能简单等效为一个线性的电阻R_OUT，也是要等效成一个非线性器件。

      但是，正如我们前面在“交流电阻”小节分析的那样，对于非线性器件，如果源输入信号是一个典型的“直流分量叠加一个小信号交流分量”的信号，那么其分析方法就可以大大简化：可以将直流部分和交流部分分开计算，最后再把得到的结果叠加起来就可以了。因此，放大器的输入端和输出端计算可以分别作如下等效分离：

● 输入端直流交流等效分离：

图4-2.13 

      直流部分的输入电压V_I为：

      交流部分的输出电压v_i为：

      总输出电压v_I为：

      在这里我们通常将信号源的内阻看成是一个普通的线性电阻。对于普通的线性电阻，其直流电阻和交流电阻是完全相同的，因此R_S在直流部分和交流部分的表达式中也是一致的。

● 输出端直流交流等效分离：

图4-2.14 

      这里放大器的输出端相当于信号源，其内阻是非线性的，所以内阻也要做直流和交流的分离，如上图所示。最终的输出电压表达式为：

3. 输入输出端口的方向规定

      关于输入电压/电流和输出电压/电流的方向规定，这里再补充说明一下。因为我们本章后面的各种交流分析，都是以这个规定方向为准。

图4-2.15 

      上图即为电路基本原理中，对于标准二端口网络的电压和电流的方向规定，图中我们用相量写法（变量大写、下标小写）来表示交流电压和交流电流。如果在我们后面的BJT电路分析中，碰到实际的电压或电流方向与上图中规定的方向相反，则必须要添加负号。

      对于输入部分，大家基本不会有太大疑问。但是对于输出部分，大家可能稍有疑惑，因为我们前面讲输出电阻的原理的时候，是由电路输出端的内部产生驱动电压，输出电流的方向是向外的。而在上图中，反倒是看上去像由外部产生驱动电压，输出电阻仅仅是输出端口内部一个被动的电阻，活似一个输入电阻原理的镜像，只不过位置是在输出端而已。

      其实，如果从数学角度来分析的话，上面二端口网络的输出电阻定义和上一小节的我们讲过的由电路输出部分的电压源内阻定义的输出电阻，虽然看似是两个不同的电路，但实际产生的“输出电压-电流-电阻”关系式是完全一致的。

      下面我们来推导一下看看是否一致：

图4-2.16 

      上面左图即我们上小节分析过的输出电阻电路（仅取交流部分），右图即为由外部电源驱动的二端口电路定义表示。

● 右图的电压/电流关系式比较简单：

● 左图的电压/电流关系式为：

      在上两式中消去R_L可得：

      经比较可发现，两图的关系式仅仅差一个负号，由于左图的电流定义方向与右图相反，如果换成右图的电流定义方向，那两图的表达式是完全一致的。

      当内部交流电压源U_sig为0时，输出电阻即为：

      事实上，对于很多我们无法精确画出其内部情况的黑箱电路，我们常常利用上面右图的电路，在使内部的U_sig为0的情况下，通过在输出端外部加上驱动电压，并测量输出端电流的方法，来得到一些特定条件下的输出电阻。这就是有的书上会说“输出电阻是由电路的输出端看入的电阻”这句话的含义。

      因此，用上面左图的被动测量法和上面右图的主动法测量法，都可以得到输出电阻。具体用哪个方法一般根据电路的实际情况，哪个方便时用哪个。

     

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（ end of 4-2）

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