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  • 初级模拟电路:10-2 分贝与伯德图

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          本章的主要内容,就是研究输入信号的频率的变化对放大器增益的影响,在开始正式研究之前,本小节还要介绍两个工具,一个是归一化单位,一个是伯德图。

    1. 归一化单位

          通常,输入信号的频率对一个放大电路增益的影响,典型如下图所示:

    图10-2.01 

          从图中可以看到,这是一个半对数坐标图,其横坐标(频率)为对数坐标,纵坐标(电压增益)为线性坐标。在图中我们可以观察到,在中频范围内(约 100Hz~100kHz),其电压增益可达到最大值(图中为150),在输入信号低于100Hz或高于100kHz时,其电压增益都会减小。

          一般我们会比较关注电压增益减小到其最大增益的0.707(即1/√2)时的左右两个频率点(图中为fL和fH),因为从最原始的电路定义来看,当电压值降为0.707倍时,根据电压与功率的换算关系,输出功率会减小到原来的1/2,当输出功率降到原来的一半以下时,通常我们就认为这个电路已经不算正常工作了。

          我们把在这两个频率点之间的频率范围,称为:带宽(bandwidth)。相应的fL和fH称为:截止频率(cutoff frequency)或拐点频率(corner frequency)。

          在很多情况下,我们在比较不同的放大电路的性能优劣的时候,仅仅关注它们的频率带宽,而并不太关注其真正的放大倍数(因为放大倍数通常可以通过配置不同的电阻来调节,而带宽通常是由电路的设计结构或器件的性质决定,一般是无法调节的)。因此,人们在纵坐标上使用了归一化(normalized)方法,将纵坐标的值表示为每个频率点的实际增益与最大增益值的比值,这样就完成了归一化,纵坐标的最大值为1,且无量纲,如下图所示:

    图10-2.02 

          通过归一化以后,我们就可以比较不同放大电路之间的带宽性能了。比如,通过比较下面的两个放大电路的归一化增益-频率图,我们可以明显看出左图放大器的频率性能(带宽)要好于右图:

    图10-2.03 

    2. 伯德图

          若将纵坐标再作进一步变化,将纵坐标也变为分贝表示,就得到了所谓的伯德图(Bode plot)。上面图10-2.02的归一化图变成伯德图后,如下图所示:

    图10-2.04 

          在图中,原来纵坐标为0.707的的值,现在变为了-3dB:

          现在,纵坐标也变成了对数坐标,成为了“全对数坐标图”。根据上一小节对于分贝的广义定义,对于衰减到0.707倍的比值,人们一般直接说成衰减了3dB(或增益为-3dB),而不再关注这个物理量本身的性质。-3dB是个重要的指标,后面会经常碰到。

          你可能会觉得有些疑惑,归一化单位图用着也蛮好,为什么要再给自己增加麻烦,把纵坐标变为分贝表示呢?其实伯德图的好处,在于它可以把上面看上去非线性的“增益-频率”曲线图,变成线性图。我们将在下一小节实际使用一下伯德图,分析一个最简单的RC电路,你就明白伯德图的好处了。

    (1)RC电路基本参数

          下图是一个简单的RC高通滤波电路,虽然不是放大电路,但我们可以将输出电压Vo与输入电压Vi的比值视为电压增益,来分析其电压增益与频率的关系。(以下关于交流电压电流的符号我们都用其相量符号表示)

    图10-2.05 

          当电路工作在中高频时,电容C可视为短路,输出Vo等于输入Vi,其增益达到最大值,为1,即:

          当电路工作在低频时,电容C会对交流电造成阻碍,使得输出Vo小于输入Vi,根据电路原理中关于电容器的基本知识,其容抗的表达式为:

          (注意:虽然容抗XC的单位也是欧姆,但其在相量数值上是个虚数。)

          输出电压Vo的表达式为:

          因此输出电压的幅值表达式为:

          其实际增益Av为输出电压与输入电压幅值的比值,即:

          从上式可以看出,当频率f趋于0时,XC趋于无穷大,实际增益趋于0;当频率f趋于无穷大时,XC趋于0,实际增益趋于1。

          现在再来计算截止频率fL:我们希望频率为fL时,实际增益Av与理论上最大增益Avmax的比值为0.707:

          上式可解得,当f为:

          时,电压幅值的归一化增益为0.707。电压幅值增益-频率图大致如下图所示:

    图10-2.06 

    (2)使用伯德图

          好,现在来看如何利用伯德图将上面的频率图线性化。前面我们已经得到电压幅值的归一化增益的表达式为:

          将前面算得的fL稍微变化一下可得:

          将这个 (1/2πC) 代入上式的归一化增益,可得:

          现在将这个电压幅值的归一化增益使用分贝表示,计算过程为:

          当f远大于截止频率fL时,上式中的(fL/f)2项值会远小于1,因此可被近似掉;而当f远小于fL时,上式中的1可被近似掉;而因此电压幅值的增益可写成分段函数:

          上面的分段函数若画在伯德图上,第一个式子的0dB就是一条与x轴重合的水平直线,比较简单。关键是第2个式子,还要再化简一番才能看出其线性:

          上式中,前项-20lg(fL) 是一个常数,而后项在对数横坐标的情况下,lg(f)可视为一个整体,即为x轴因子,因此上式在对数坐标图上的纯表达式可看作:

          这个就是一个线性表达式了,只不过仅在“分贝-对数图”上呈线性而已,如是将上面的分段函数画在伯德图上就如下图所示:

    图10-2.07 

          其频率f小于fL时,电压幅值归一化增益 Anorm近似为一条斜率k等于20、且通过横坐标上fL点的直线;当频率f大于fL时,。电压幅值归一化增益 Anorm近似为一条与x轴重合的水平直线。

          根据我们前面小节关于“十倍程”用法的解释,这条斜率为20的直线可以称为:20dB/十倍频程。在实际使用中,有时人们会嫌20这个系数太大了,写起来不方便;对于同样的斜率,有时会用一个更小的单位:/倍频程(即:频率增加1倍时,纵坐标的分贝变化数量)。“20dB/十倍频程”约等同于“6dB/倍频程”。换算方法如下:

          当f2/f1=2时:

          最后的问题是,这样线性化以后,在f≫fL和f≪fL的情况下近似性是比较好的,但在f靠近fL的地方不太准,需要手工修正。于是我们再算几个f比较靠近fL时的值:

          然后将它们拟合到伯德图上,于是真正的电压幅值增益曲线就如下图中的绿色曲线所示:

    图10-2.08 

          在理解了伯德图是如何将曲线线性化后,我们以后在使用伯德图时可以不仅仅局限于归一化单位,只要纵坐标为任何比值(比如Vo/Vi),都可以将其在伯德图上进行表示。

          最后值得一提的是,这种线性近似化方法在以前没有计算机的那个时代是很有用的(伯德最初是在1945年发表了这个伯德图方法),它可以帮助人们大大减少计算量,方便对电路或系统进行分析。这种方法即便在今天也不算过时,需要很好地掌握,因为使用它可以迅速地把握住系统的主要特征。

          不过,在如今这个计算机已经普及的时代,绘制精确的增益图或响应图也不是什么难事了,比如使用Python的SciPy和Matplotlib库,可以快速地绘制出精准的伯德图和其他各种曲线,而且这么好的软件居然还是免费的。推荐学习一下,不负这个时代的好时光。

    (3)相位分析

          伯德图一般只能将增益幅值线性化,对于相位响应没法线性化,只能老老实实算出若干个典型值,然后在图上将这些点拟合成一条曲线。我们这里就演示一下如何绘制上面的RC电路的相位响应对数图。

          重写上面的电压增益的原始表达式如下:

          其相位响应θ的表达式为:

          当f≪fL时:

          当f≫fL时:

          再计算几个典型频率时的值:

          根据这几个点位的相位值,我们可以拟合出一条大致的相位响应曲线,如下图所示:

    图10-2.09 

         

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