康托展开

参考：

全排列的编码与解码——康托展开 (附完整代码)
康托展开_百度百科

康托展开与逆康托展开用于全排列的编码与解码。

• 康托展开：全排列到一个自然数的双射（一一对应）
  x=a_n*(n-1)!+a_n-1*(n-2)!+...+a_i*(i-1)!+...+a₂*1!+a₁*0!，其中a_i为整数，且a_i >= 0。
  适用范围：没有重复元素的全排列。
• 全排列的编码
  {1,2,3,4,...,n}的排列总共有n!种，将它们从小到大排序，怎样知道其中一种排列是有序序列中的第几个？
  如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个：123 132 213 231 312 321。想知道321是{1,2,3}中第几个大的数。
  这样考虑：第一位是3，小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位，小于2的数只有一个就是1 ，所以有1*1!=1 所以小于32
  的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个。所以321是第6个大的数。2*2!+1*1!是康托展开。（注意判断排列是第几个时要在康托展开的结果后+1）
  再举个例子：1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数：第一位是1，小于1的数没有，是0个，0*3!，第二位是3，小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，所以只有一个数2，1*2! 。第三位是2，小于2的数是1，但1在第一位，所以有0个数，0*1!，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个，1324是第三个大数。
  又例如，排列3 5 7 4 1 2 9 6 8展开为98884，因为x=2*8!+3*7!+4*6!+2*5!+0*4!+0*3!+2*2!+0*1!+0*0!=98884.
  解释：
  排列的第一位是3，比3小的数有两个，以这样的数开始的排列有8!个，因此第一项为2*8!
  排列的第二位是5，比5小的数有1、2、3、4，由于3已经出现，因此共有3个比5小的数，这样的排列有7!个，因此第二项为3*7!
  以此类推，直至0*0!

#include <cstdio>  
int f[] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320};    //阶乘  
   
int cantor(int s[], int n)  
{  
    int ret = 0;
    for(int i = 0; i < n; ++i){  
        int cnt = 0;  
        for(int j = i+1; j < n; ++j)  
            if(s[j] < s[i]) ++cnt;  
        ret += cnt * f[n-1-i];  
    }  
    return ret+1;  
}  
   
int main()  
{  
    int a[] = {3, 5, 7, 4, 1, 2, 9, 6, 8};  
    printf("%d
", cantor(a, sizeof(a)/sizeof(*a)));    //98885  
}  

• 全排列的解码
  如何找出第16个（按字典序的）{1,2,3,4,5}的全排列？

1. 首先用16-1得到15
2. 用15去除4! 得到0余15
3. 用15去除3! 得到2余3
4. 用3去除2! 得到1余1
5. 用1去除1! 得到1余0
   有0个数比它小的数是1，所以第一位是1
   有2个数比它小的数是3，但1已经在之前出现过了所以是4
   有1个数比它小的数是2，但1已经在之前出现过了所以是3
   有1个数比它小的数是2，但1,3,4都出现过了所以是5
   最后一个数只能是2
   所以排列为1 4 3 5 2

#include <cstdio>   
int f[] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320};	//阶乘    
   
//n为ans大小，k为全排列的编码  
void reverse_cantor(int ans[], int n, int k)  
{  
    --k;  
	bool vis[10] = {0};
    for(int i = 0; i < n; ++i){  
        int t = k/f[n-i-1], j;  
        for(j = 1; j <= n; j++){
            if (!vis[j]){  
                if(t == 0) break;  
                --t;  
            }  
		}
        ans[i] = j;
		vis[j] = true;  
        k %= f[n-i-1];	//余数  
    }  
}  
   
int main()  
{  
    int a[10];  
    reverse_cantor(a, 5, 16);  
    for (int i = 0; i < 5; ++i)  
        printf("%d ", a[i]);	//1 4 3 5 2  
}