算法导论图论Bellmanford 算法

　　Bellman-ford 算法

1.运行bellman算法后可返回一个布尔值，表明图中是否存在一个从原点可达的负权回路，若存在，无解；不存在，返回最短路径及权值

2.此法运用松弛技术不断减少从源点s到v的最短路径权的估计值d[v]，直至达到最短路径实际的值σ(s,v)，算法返回true当且仅当不包含从原点可达的负权回路

BELLMAN-FORD(G,w,s)

         INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G,s)

         For i=1 to |V[G]|-1

                   Do for each edge(u,v)属于E[G]

                            Do relax(u,v,w)

         For each edge(u,v)属于E[G]

                  Do if d[v]>d[u]+w(u,v)

                            Then return false

Return true

3.为什么松弛|V|-1次能得到正确答案？（假设无负环）

  P=<v0,v1,…,vk>是任一条从s到v的最短无环路径，s=v0,vk=v。路径p至多有|V|-1条边

  所以k<=|V|-1,for循环松弛了|E|的所有边，第i次迭代被松弛的边为(vi-1,vi),由路径松弛性质可知d[v]=d[vk]=σ(s,vk)=σ(s,v)

4. 设m为所有每对顶点u,v中边数最小值中的最大值，则可在松弛m+1次以后终止（注意要求无负环，要么while不会停止）（课后习题24.1-3）

RELAX-M(u, v,w)

　　if d[v] > d[u] + w(u, v)

　　then d[v] ← d[u] + w(u, v)

　　　　π[v] ← u

　　　　changes ← TRUE

BELLMAN-FORD-(M+1) (G,w, s)

　　INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s)

　　changes ← TRUE

　　while changes = TRUE

　　　　do changes ← FALSE

　　　　　　for each edge (u, v) ∈ E[G]

　　　　　　　　do RELAX-M(u, v,w)

5.若从原点s到v的某些路径中存在负权回路则置d[v]=负无穷(课后习题24.1-4)

Bellman-Ford-New(G, w, s)

　　Initialize-Single-Source(G, s)

　　for i ← 1 to |V[G]| - 1

　　do for each edge (u,v) 属于E[G]

　　　　do Relax[u, v, w]

　　for each edge (u, v) 属于E[G]

　　　　do if d[v] > d[u] + w(u, v)

　　　　　　d[v] = 负无穷

　　for each v such that d[v] =负无穷

　　　　do Follow-And-Mark-Pred(v)

 

Follow-And-Mark-Pred(v)

　　if p[v] != nil and d[p[v]] != 负无穷

　　　　do d[p[v]] =负无穷

　　　　　　Follow-And-Mark-Pred(p[v])

　　else

　　　　return