平衡二叉树（AVL树）基础操作

二叉平衡树

　　一：AVL树介绍：

它是最先发明的自平衡二叉查找树，也被称为高度平衡树。相比于"二叉查找树"，它的特点是：AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1。

注意： 上面的两张图片，左边的是AVL树，它的任何节点的两个子树的高度差别都<=1；而右边的不是AVL树，因为7的两颗子树的高度相差为2(以2为根节点的树的高度是3，而以8为根节点的树的高度是1)

 

二：AVL树结构：

typedef int Type;
typedef struct AVLTreeNode{
    Type key;                    // data值
    int height;                 //AVL树高度
    struct AVLTreeNode *left;    // 左子树
    struct AVLTreeNode *right;    // 右子树
};

 

三：AVL树初始化以及创建：

    Node* avltree_create_node(Type key, Node *left, Node* right)
{
    Node* p;
    if ((p = (Node *)malloc(sizeof(Node))) == NULL)
        return NULL;
    p->key = key;
    p->height = 0;
    p->left = left;
    p->right = right;
    return p;
}

 

四：重点：AVL树旋转

AVL树旋转分为四种情况： LL(左左)，LR(左右)，RR(右右)和RL(右左)

4.1LL旋转以及RR旋转

//1.LL旋转
Node* left_left_rotation(AVLTree k2)
{
    AVLTree k1;
​
    k1 = k2->left;
    k2->left = k1->right;
    k1->right = k2;
​
    k2->height = MAX( HEIGHT(k2->left), HEIGHT(k2->right)) + 1;
    k1->height = MAX( HEIGHT(k1->left), k2->height) + 1;
​
    return k1;
}
​
//2.RR旋转
Node* right_right_rotation(AVLTree k1)
{
    AVLTree k2;
​
    k2 = k1->right;
    k1->right = k2->left;
    k2->left = k1;
​
    k1->height = MAX( HEIGHT(k1->left), HEIGHT(k1->right)) + 1;
    k2->height = MAX( HEIGHT(k2->right), k1->height) + 1;
​
    return k2;
}

这两种旋转的方法类似：下面图示：

 

4.2LR旋转以及RL旋转;

//LR和RL旋转其实也就是对左/右子树先LL/RR旋转。然后对需要旋转的节点进行RR/LL旋转
​
//1.LR旋转
Node* left_right_rotation(AVLTree k3)
{
    k3->left = right_right_rotation(k3->left);
    return left_left_rotation(k3);
}
​
//2.RL旋转
Node* right_left_rotation(AVLTree k1)
{
    k1->right = left_left_rotation(k1->right);
    return right_right_rotation(k1);
}

 

五：AVL插入节点：

Node* avltree_insert(AVLTree tree, Type key)
{
    if (tree == NULL) 
    {
        // 新建节点
        tree = avltree_create_node(key, NULL, NULL);
        if (tree==NULL)
        {
            printf("ERROR: create avltree node failed!
");
            return NULL;
        }
    }
    else if (key < tree->key) // 应该将key插入到"tree的左子树"的情况
    {
        tree->left = avltree_insert(tree->left, key);
        // 插入节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
        if (HEIGHT(tree->left) - HEIGHT(tree->right) == 2)
        {
            if (key < tree->left->key)
                tree = left_left_rotation(tree);//LL转
            else
                tree = left_right_rotation(tree);//LR转
        }
    }
    else if (key > tree->key) // 应该将key插入到"tree的右子树"的情况
    {
        tree->right = avltree_insert(tree->right, key);
        // 插入节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
        if (HEIGHT(tree->right) - HEIGHT(tree->left) == 2)
        {
            if (key > tree->right->key)
                tree = right_right_rotation(tree);//RR转
            else
                tree = right_left_rotation(tree);//RL转
        }
    }
    else //key == tree->key)
    {
        printf("添加失败：不允许添加相同的节点！
");
    }
​
    tree->height = MAX( HEIGHT(tree->left), HEIGHT(tree->right)) + 1;
​
    return tree;
}

 

六：AVL删除节点：

Node* delete_node(AVLTree tree, Node *z)
{
    // 根为空 或者 没有要删除的节点，直接返回NULL。
    if (tree==NULL || z==NULL)
        return NULL;
​
    if (z->key < tree->key)        // 待删除的节点在"tree的左子树"中
    {
        tree->left = delete_node(tree->left, z);
        // 删除节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
        if (HEIGHT(tree->right) - HEIGHT(tree->left) == 2)
        {
            Node *r =  tree->right;
            if (HEIGHT(r->left) > HEIGHT(r->right))
                tree = right_left_rotation(tree);
            else
                tree = right_right_rotation(tree);
        }
    }
    else if (z->key > tree->key)// 待删除的节点在"tree的右子树"中
    {
        tree->right = delete_node(tree->right, z);
        // 删除节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
        if (HEIGHT(tree->left) - HEIGHT(tree->right) == 2)
        {
            Node *l =  tree->left;
            if (HEIGHT(l->right) > HEIGHT(l->left))
                tree = left_right_rotation(tree);
            else
                tree = left_left_rotation(tree);
        }
    }
    else    // tree是对应要删除的节点。
    {
        // tree的左右孩子都非空
        if ((tree->left) && (tree->right))
        {
            if (HEIGHT(tree->left) > HEIGHT(tree->right))
            {
                // 如果tree的左子树比右子树高；
                // 则(01)找出tree的左子树中的最大节点
                //   (02)将该最大节点的值赋值给tree。
                //   (03)删除该最大节点。
                // 这类似于用"tree的左子树中最大节点"做"tree"的替身；
                // 采用这种方式的好处是：删除"tree的左子树中最大节点"之后，AVL树仍然是平衡的。
                Node *max = avltree_maximum(tree->left);
                tree->key = max->key;
                tree->left = delete_node(tree->left, max);
            }
            else
            {
                // 如果tree的左子树不比右子树高(即它们相等，或右子树比左子树高1)
                // 则(01)找出tree的右子树中的最小节点
                //   (02)将该最小节点的值赋值给tree。
                //   (03)删除该最小节点。
                // 这类似于用"tree的右子树中最小节点"做"tree"的替身；
                // 采用这种方式的好处是：删除"tree的右子树中最小节点"之后，AVL树仍然是平衡的。
                Node *min = avltree_maximum(tree->right);
                tree->key = min->key;
                tree->right = delete_node(tree->right, min);
            }
        }
        else
        {
            Node *tmp = tree;
            tree = tree->left ? tree->left : tree->right;
            free(tmp);
        }
    }
​
    return tree;
}
​
/* 
 * 删除结点(key是节点值)，返回根节点
 *
 * 参数说明：
 *     tree AVL树的根结点
 *     key 待删除的结点的键值
 * 返回值：
 *     根节点
 */
Node* avltree_delete(AVLTree tree, Type key)
{
    Node *z; 
​
    if ((z = avltree_search(tree, key)) != NULL)
        tree = delete_node(tree, z);
    return tree;
}