概率论笔记

注：本文用+表示并运算，*表示交运算，A'表示A的逆事件

样本空间

一个试验中所有可能情况组成的集合

事件的关系与运算

1. A包含于B：A发生=>B发生
2. A并B/A与B的和事件：A或B发生
3. A交B/A与B的积事件：AB同时发生
4. A-B/A与B的差事件：A发生B不发生
5. A B互斥/不相容：A交B=空集
6. A B互为逆事件/对立事件：和事件为S的不相容事件

运算律：

1. 1. 交换律：A+B=B+A
   2. 结合律：A+(B+C) =(A+B) +C；A*(B*C) =(A*B) *C
   3. 分配律：A+(B*C) =(A+B) *(A+C) ；A*(B+C) =A*B+A*C

   4. 德摩根律：(A+B)'=A'*B'；(A*B)'=A'+B'

频率与概率

1. n次试验中事件A发生的次数a称为A发生的频数，a/n称为A发生的频率，记为f_n (A) 
   
2. n->∞时f_n(A) =P(A) ，称为A的概率
3. 概率的定义/性质
   1. 非负性：P(A) >=0
   2. 规范性：P(S) =1
   3. 可列可加性：若A[i]两两互斥，则P(A[1]+A[2]+…) =P(A[1])+P(A[2])+…
   4. P(空集) =0
   5. 有限可加性：略
   6. 若A包含于B则P(B-A) =P(B) -P(A), P(B) >=P(A) 
   7. P(A) <=1
   8. P(A') =1-P(A) 

   9. 加法原理P(A+B) =P(A) +P(B) -P(A*B) 

   10. 加法原理推广（容斥原理）

古典概型（试验的样本空间中只包含有限(n个)元素；每个基本事件发生概率相同）

1. P(基本事件) =1/n
2. P(A)=k/n =A包含的基本事件数/S包含的基本事件数
3. 有a个白球b个红球 k个人依次取球，分别在放回抽样和不放回抽样的条件下求第i个人摸到白球的概率
4. N个物品中有D个次品，任取n件恰有k件次品的概率

通过3可以发现两种情况下的概率相同且与i无关

p=C(D, k) *C(N-D, n-k) /C(N, n)        该公式被称为 超几何分布    读者自证不难

实际推断原理：概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的（废话

条件概率：P(*, A) 表示在A事件发生的条件下某事件发生的概率

P(B|A) =P(AB) /P(A) 

1. 条件概率具有上述概率的性质

2. 乘法原理 P(AB) =P(B|A) P(A) 

3. 乘法原理推广：略

全概率公式&贝叶斯公式

 

1. 样本空间的划分
2. 1. 任意i j，B[i]*B[j]=空集
   2. B[1]+B[2]+…+B[n]=S

则B[1...n]称为S的一个划分