XJTU ICPC Team Selection - Summer 2021 - Day1
A. Broadcast Stations
0.5 seconds
Description
给定一个树，(n)个点，点(i)可以覆盖与其距离小于等于(p(i))的点。要使所有点都被覆盖，(sum p(i))最小是多少
(1leq nleq 5000)
Solution
树形dp
B. Connect3
0.5 seconds
Description
4*4的棋盘，黑白双方轮流下。只有在一个格子下方的格子有棋子时，该格才能放棋子（第一行的格子除外）。当横着、竖着或斜着有3个子连成线时胜利。已知第一步黑棋下第一行第(x)列，最后一步白棋下第(a)行第(b)列。求最后棋盘有多少种可能的状态（不考虑落子的顺序）
Solution
由于最多16步，每步最多4种下法。直接枚举，(4^{16}approx 4e9)，然后判断是否合法，记录所有合法的状态（不到(3^{16})），去重。
不过(4^{16})是过不了的，由于(x,a,b)都小于等于4，所以打表即可。
C. Game Map
1 second
Description
给定一个无向连通图，可以从结点(a)走到结点(b)当且仅当(a,b)相邻且与(b)相邻的点的个数大于与(a)相邻的点的个数。任选一个点作为起点。问做多经过几个点。
(1leq nleq 100000,n-1leq mleq 300000)
Solution
按题意可以建一个DAG，在DAG上跑dp求出最长路即可
D. Happy Number
0.2 seconds
Description
定义(f(n)=n)的各位的平方和（十进制）。给定(n)，判断一直让(n=f(n))会不会使得(n)最终变为(1)。
(1leq nleq 10^9)
Solution
按题意模拟即可，遇到循环节停止。由于范围内任何数取(x=f(x))后都一定在(729)以内，所以循环节长度最大为(729)。
E. How Many to Be Happy?
0.5 seconds
Description
给定一个简单无向连通图。对于边(e)，定义(H(e))为最少删掉几条边可以使(e)在最小生成树中。求(sum H(e))
(nleq 100,mleq 500)
Solution
枚举每条边。考虑这样建图：点集和原图相同，原图中每条边权小于该边的边，建一条容量为1的边。这条边的(H)值就是新图的最小割。由最大流最小割定理，跑最大流即可。虽然dinic算法复杂度(O(n^2m))，这样总复杂度((n^2m^2))过不了，但所有边容量都为1时dinic算法复杂度(O(min(n^{0.67}m,m^{1.5}))这样就能过了。
F. Philosopher’s Walk
0.5 seconds
Description
Philosopher在一个一个n*n的网格中按如图所示的路线（皮亚诺曲线/希尔伯特曲线）从左下(1,1)走到右下(n,1)。求他走的第(m)个格子的坐标。
(n=2^k,mleq n^2,0<kleq 15)
Solution
设(f(n,m))为要求的坐标，由于其自相似性，(f(n,m))可由(f(frac{n}{2},mmodfrac{n^2}{4}))得到。递归求解即可
G. Rectilinear Regions
0.5 seconds
Description
Solution
H. Rock Paper Scissors
1 second
Description
一个石头剪刀布机器，它的行动由一个由R(石头)、S(剪刀)、P(布)构成的字符串（长为(n)，(nleq 100000)）表示。
你的行动也由一个串（长为(m)，(m<n)）表示。
你可以选定对方串的一个长为(m)的子串，与你的串相比，你每赢一局就得1分。求最大得分
Solution
据说是多项式
I. Slot Machines
2 seconds
Description
Solution
J. Strongly Matchable
3 seconds
Description
匹配：图中没有任何两条边拥有一个共同顶点的子图
完美匹配：覆盖图的所有点的匹配
Strongly Matchable：将图中的点平分为两部分，删去两端都在同一部分的边，若对于所有的平分方式，新图都有完美匹配，则称其Strongly Matchable。
给定一个图判断它是否Strongly Matchable。
Solution
K. Untangling Chain
0.5 seconds
Description
给定一条由(n)个“前进x步，左转”或“前进x步，右转”组成的路径。你可以改变每次前进的步数，但不能改变转向。请构造一条路径使得它不与自身相交且每次前进的步数(in [1,n]cap N)
(1leq nleq 10000)
Solution
先对转向信息进行前缀和，得到每次走的方向。对于向上的边记录他前面最近一条向下的边，对于向左的边记录他前面最近一条向右的边，对于向下的边记录他前面最近一条向上的边，对于向右的边记录他前面最近一条向左的边。每条边初始边长设为1，从后向前枚举，若该边边长为(a)，则其记录的边边长(+=a)