数学算法那些事

1. 三种方法求最大公约数

1、连续整数检测法. 

此算法比较简单：

/**
 * greatest common divisor
 * 
 * @param int $a
 * @param int $b
 */
function gcd($a, $b){ 
    $t = $a> $b ?$b :$a;
    while ($t>0){
        if($a%$t==0 && $b%$t ==0) break;
        --$t;
    }
    return $t;
}

时间复杂度：最坏情况他们的最大公约数是1，循环做了t-1次，最好情况是只做了1次，可以得出O（n）=n/2;

2、欧几里德算法

欧几里德算法又称辗转相除法， 用于计算两个整数a, b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：
定理： gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
证明：
     a可以表示成a = kb + r, 则r = a mod b
     假设d是a, b的一个公约数， 则有  d|a, d|b, 而r = a - kb, 因此d|r。
     因此，d是(b, a mod b)的公约数。
     加上d是(b，a mod b)的公约数，则d|b, d|r, 但是a = kb + r,因此d也是(a, b)的公约数。
     因此，(a, b) 和(a, a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

/**  
 * greatest common divisor  
 * gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)  
 * @param int $a  
 * @param int $b  
 */  
function gcd($a, $b){   
    $t = $a%$b;  
    return $t > 0 ? gcd($b, $t): $b;  
}  

欧几里德的时间复杂度O(n)= log ⁿ

3、Stein 算法

欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法，无论是理论，还是从效率上都是很好的。但是他有一个致命的缺陷，这个缺陷只有在很大的素数时才会显现出来。
考虑现在的硬件平台，一般整数最多也就是64位， 对于这样的整数，计算两个数值就的模很简单的。对于字长为32位的平台，计算两个不超过32位的整数的模，只需要一个指令周期，而计算64位以下的整数模，也不过几个周期而已。但是对于更大的素数，这样的计算过程就不得不由用户来设计，为了计算两个超过64位的整数的模，用户也许不得不采用类似于多位除法手算过程中的试商法，这个过程不但复杂，而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法，要求计算128位以上的素数的情况比比皆是，设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。
Stein算法由J.Stein 1961年提出，这个方法也是计算两个数的最大公约数。和欧几里德算法不同的是，Stein算法只有整数的移位和加减法，这对于程序设计者是一个福音。
为了说明Stein算法的正确性，首先必须注意到以下结论：
  gcd(a, a) = a， 也就是一个数和他自己的公约数是其自身。
  gcd(ka, kb) = k * gcd(a, b)，也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换，特殊的，当k=2时，说明两个偶数的最大公约数比如能被2整除。
Stein算法的实现如下：

function gcd($a, $b){ 
    if ($a == 0) return $b;
    if ($b == 0)  return $a;
    if ($a % 2 == 0 && $b % 2 == 0)return 2 * gcd($a/2,$b/2);
    else if ($a % 2 == 0)  return gcd($a/2,$b);
    else if ($b % 2 == 0)  return gcd($a,$b/2);
    else  return gcd(($a + $b) / 2, ($a - $b) / 2);
    
}

2. 排列组合

从n中选m个数(0<m<=n) 问题可分解为：

1. 首先从n个数中选取编号最大的数，然后在剩下的n-1个数里面选取m-1个数，直到从n-(m-1)个数中选取1个数为止。
2. 从n个数中选取编号次小的一个数，继续执行1步，直到当前可选编号最大的数为m。
很明显，上述方法是一个递归的过程，也就是说用递归的方法可以很干净利索地求得所有组合。

   求从数组a[1..n]中任选m个元素的所有组合。
   a[1..n]表示候选集，n为候选集大小，n>=m>0。
   b[1..M]用来存储当前组合中的元素(这里存储的是元素下标)，
   常量M表示满足条件的一个组合中元素的个数，M=m，这两个参数仅用来输出结果。

#include "stdafx.h" 
void combine( int a[], int n, int m,  int b[], const int M ) {
 
  for(int i=n; i>=m; i--) {  // 注意这里的循环范围
    b[m-1] = i - 1;
	if (m > 1) {
      combine(a,i-1,m-1,b,M);
	} else  {                   // m == 1, 输出一个组合
      for(int j=M-1; j>=0; j--)
      cout << a[b[j]] << " ";
      cout << endl;
    }
  }
}
int main(){   
	int a[] = {1,2,3,4,5};
    int b[3];
	combine(a,  5, 3,  b, 3 );
}

3. 判断素数

给定一个正整数n，用2到sqrt(n)之间的所有整数去除n，如果可以整除，则n不是素数，如果不可以整除，则n就是素数。这个算法的时间复杂度十分明了，时间复杂度是o(sqrt(n))。

算法实现：

# include <math.h>
int isPrime(int n)
{
    int i ;
    for(i=2; i <= (int)sqrt((float)n); i++){
        if(n%i == 0 )break ;
    }
    if(i <= (int)sqrt((float)n))
        printf("%d is not a prime ! ", &n) ;
    else
        printf("%d is a prime ! ", &n) ;
    return 0 ;
}