最优二叉树

树的路径长度

树的路径长度是从树根到树中每一结点的路径长度之和。在结点数目相同的二叉树中，完全二叉树的路径长度最短。

 

树的带权路径长度(weighted path length of tree,wpl)

结点的权值：在一些应用中，赋予树中结点的一个有某种意义的实数、

结点的带权路径长度：结点到树根之间的路径长度与该结点上权的乘积

树的带权路径长度(wpl)：定义为树中所有结点的带权路径长度之和

 

最优二叉树

在权为w1,w2,...,wn的n个叶子结点所构成的所有二叉树中，带权路径长度最小(即代价最小)的二叉树成为最优二叉树。

注意：

• 叶子上的权值均相同时，完全二叉树一定是最优二叉树，否则完全二叉树不一定是最优二叉树。
• 最优二叉树中，权值越大的叶子结点离根越近
• 最优二叉树的形态不唯一，wpl最小

构造最优二叉树

 

哈夫曼算法

1. 根据给定的n个权值w1,w2,...,wn构成n棵二叉树的森林F={T1,T2,..,Tn},其中每棵二叉树Ti中只有一个权值为wi的根节点，其左右子树均为空。
2. 在森林F中选出两棵根结点权值最小的树(当这种的树不止两棵时，可以从中任选两棵)，将这两棵树和并称一棵新树，为了保证新树仍是二叉树，需要增加一个新结点作为新树的根，并将所选的两棵树根分别作为新树的左右孩子，将这两个孩子的权值之和作为新树根的权值
3. 对新的森林F重复2,直到森林F只剩一棵树为止。

注意

• 初始森林中的n棵二叉树，每棵树都有一个孤立的结点，它们既是根，又是叶子
• n个叶子结点的哈夫曼树需要经过n-1次合并，产生n-1个新结点。最终求得的哈夫曼树共有2n-1个结点
• 哈夫曼树是严格的二叉树，没有度数为1的分支结点

哈夫曼树存储结构

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#define MAX_SIZE 100
#define MIN_NUM 1000000

struct hfmcode
{
    int weight;
    int lchild;
    int rchild;
    int parent;
};

注意：

1. 因此数组下界为0,因此用-1表示空指针。树中某结点的lchild,rchild,parent不等于-1时，它们分别是该结点的左、右孩子和双亲结点在向量中的下标。
2. parent域的作用：其一是查找双亲结点更为简单。其二是可通过判定parent值是否为-1来区分根和非根结点。

实现代码

（1）初始化，将T[0..m-1]中的2n-1个结点里的三个指针均置空（==-1）,权值置为0.

void initHuffmantree(struct hfmcode *tree, int len)
{
    int i;

    for(i = 0; i < len; i ++)
    {
        tree[i].weight = 0;
        tree[i].lchild = -1;
        tree[i].rchild = -1;
        tree[i].parent = -1;
    }
}

（2）输入，读入n个叶子的权值存于向量的前n个分量（即T[0..n-1]）中。

int main()
{
    int n, m, i;
    struct hfmcode hfmtree[MAX_SIZE];

    while(scanf("%d", &n) != EOF)
    {
        /*哈夫曼树总共结点数*/
        m = 2 * n - 1;

        /*初始化哈夫曼树*/
        initHuffmantree(hfmtree, m);

        /*权限赋值*/
        for(i = 0; i < n; i ++)
        {
            scanf("%d", &hfmtree[i].weight);
        }

        /*构造哈夫曼树*/
        createHuffmantree(hfmtree, n, m);

        printf("%d
", hfmtree[m - 1].weight);
    }

    return 0;
}

 

（3）合并，对森林中的树共进行n-1次合并，所产生的新结点依次放入向量T的第i个分量中(n<=i<=m-1).每次合并分两步：

1. 在当前森林T[0..i-1]的所有结点中，选取权最小和次小的两个根节点T[p1]和T[p2]作为合并对象，这里0<=p1,p2<=i-1
2. 将根为T[p1]和T[p2]的两棵树作为左右子树合并为一棵新的树，新的树根是新节点T[i].具体操作是：将T[p1]和T[p2]的parent置为i,将T[i]的lchild和rchild分别置为p1和p2.新结点T[i]的权值置为T[p1]和T[p2]的权值之和。
3. 合并后，T[p1]和T[p2]在当前森林中已不再是根，因为它们的双亲指针均已指向了T[i],所以下次合并时不会被选中为合并对象。

void createHuffmantree(struct hfmcode *tree, int n, int m)
{
    int m1, m2, i, loc1, loc2, k;

    for(i = n; i < m; i ++)
    {
        /*初始化最小值、次小值*/
        m1 = m2 = MIN_NUM;
        loc1 = loc2 = -1;
        /*在尚未构造二叉树的节点中查找权值最小的两棵树*/
        for(k = 0; k < i; k ++)
        {
            if(tree[k].parent == -1)
            {
                if(tree[k].weight < m1)
                {
                    m2 = m1;
                    loc2 = loc1;
                    m1 = tree[k].weight;
                    loc1 = k;
                }else if(tree[k].weight < m2)
                {
                    m2 = tree[k].weight;
                    loc2 = k;
                }
            }
        }

        /*修改2个小权重节点的双亲*/
        tree[loc1].parent = i;
        tree[loc2].parent = i;

        /*修改parent的权重*/
        tree[i].weight = tree[loc1].weight + tree[loc2].weight;

        /*修改parent的孩子*/
        tree[i].lchild = loc1;
        tree[i].rchild = loc2;
    }
}

 

哈夫曼编码

 

编码和解码

数据压缩的过程成为编码。即将文件中的每个字符均转换为一个唯一的二进制位串

数据解压过程成为解码。即将二进制位串转换位对应的字符

 

前缀码&&最优前缀码

对字符集进行编码时，要求字符集中任一字符的编码都不是其它字符的编码的前缀，这种编码成为前缀编码

 

平均码长或文件总长最小的前缀编码成为最优前缀编码，最优前缀编码对文件的压缩效果亦最佳。

 

哈夫曼编码为最优前缀编码

1. 每个叶子字符ci的码长恰为从根到该叶子的路径长度li,平均码长（或文件总长）又是二叉树的带权路径长度WPL.而哈夫曼树是WPL最小的二叉树，因此编码的平均码长亦最小
2. 树中没有一片叶子是另一个叶子的祖先，每片叶子对应的编码就不可能是其它叶子编码的前缀。

哈夫曼编码算法

算法思想

给定字符集的哈夫曼树生成后，求哈弗曼编码的具体实现过程是：依次以叶子T[i](0 <= i< n)为出发点，向上回溯到根为止，上溯是走左分支则生成代码0,走右分支则生成代码1.

 

注意：

• 由于的编码与要求的编码反序

算法代码

/*哈夫曼编码*/
struct hfmd
{
    char code[MAX_SIZE];
};

void createHuffmancode(struct hfmcode *htree, struct hfmd *hcode, int n)
{
    /*c和p分别指示T中的孩子和双亲的位置*/
    int p, i, c;
    /*临时存放编码*/
    char cd[n];
    /*指示编码在cd中起始位置*/
    int start;

    /*依次求叶子T[i]的编码*/
    for(i = 0; i < n; i ++)
    {
        c = i;
        start = n;
        memset(cd, 0, sizeof(cd));
        p = htree[c].parent;
        while(p != -1)
        {
            cd[-- start] = (htree[p].lchild == c)? '0' : '1';
            c = p;
            p = htree[p].parent;
        }
        strcpy(hcode[i].code, cd + start);
    }
}

 

链表实现哈夫曼树

注意

用链表实现哈夫曼树的同学最好注意一下指针变量和节点变量的区别！

 

哈夫曼树存储结构定义

//哈夫曼结点类型定义
struct huffmancode
{
    int power;
    struct huffmancode *lchild;
    struct huffmancode *rchild;
    struct huffmancode *next;
};

构建哈夫曼树

这里有个技巧，构建链表时保证链表有序，这样每次取最小的两个节点只要从头节点head取pl=head->next, pr=head->next->next就可以了，省去排序的时间！

 

/**
 * Description:构建哈夫曼树
 */
struct huffmancode* createHuffmanTree(int n, int *weight)
{
    int i;
    struct huffmancode *head, *pl, *pr, *proot;
    head = (struct huffmancode *)malloc(sizeof(struct huffmancode));
    head->next = NULL;

    //初始化森林
    for(i = 0; i < n; i ++)
    {
        struct huffmancode *pnode = (struct huffmancode *)malloc(sizeof(struct huffmancode));
        pnode->power = *(weight + i);
        pnode->lchild = pnode->rchild = pnode->next = NULL;
        addNode(head, pnode);
    }

    //构造哈夫曼树
    while(head->next)
    {
        //只有一个节点的情况
        if(!head->next->next)
        {
            break;
        }

        //从单链表中取出节点最小的两个点
        pl = head->next;
        pr = pl->next;

        //删除pl、pr结点，加入到哈夫曼树中
        head->next = pr->next;
        proot = (struct huffmancode *)malloc(sizeof(struct huffmancode));
        proot->power = pl->power + pr->power;
        proot->lchild = pl;
        proot->rchild = pr;
        addNode(head, proot);
    }

    return head->next;
}

/**
 * Description:添加节点
 */
void addNode(struct huffmancode *head, struct huffmancode *pnode)
{
    struct huffmancode *t = head;

    //找到第一个权值大于给定结点的结点，t指定该结点的前一结点
    while(t->next && t->next->power < pnode->power)
    {
        t = t->next;
    }
    pnode->next = t->next;
    t->next = pnode;
}

获取WPL

/**
 * Description:获取哈夫曼树的带权路径长度(初始level为0)
 */
int getWPL(struct huffmancode *root, int level)
{
    if(!root)
    {
        return 0;
    }
    if(!root->lchild && !root->rchild)
    {
        return root->power * level;
    }

    return getWPL(root->lchild, level + 1) + getWPL(root->rchild, level + 1);
}

清空哈夫曼树

/**
 * Description:清理哈夫曼树
 */
void freeHuffmantree(struct huffmancode *root)
{
    if(!root)
    {
        return;
    }
    freeHuffmantree(root->lchild);
    freeHuffmantree(root->rchild);
    free(root);
}