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  • Codeforces-GYM101873 G Water Testing 皮克定理

    题意:

    给定一个多边形,这个多边形的点都在格点上,问你这个多边形里面包含了几个格点。

    题解:

    对于格点多边形有一个非常有趣的定理:

    多边形的面积S,内部的格点数a和边界上的格点数b,满足如下结论:

    2S=2a+b-2

    证明不难,对于格点长方形显然成立,对于高度为1的直角三角形也显然成立,那么我们想象,把两个满足皮克定理的多边形,沿着它们的一个平行与格线的边拼起来,假设拼的这个边长度为k,这两个图形原来在这里各有k个边界格点,拼起来之后,这2k个边界格点,变成了2个边界格点,和k-2个内部格点,神奇吧!它们的面积还是符合皮克定理, 任何图形都可以用长方形和高为1的直角三角形这样拼起来,因此定理得证。

    边界格点数用gcd求,面积用叉乘求。

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    typedef pair<ll,ll> pll;
    const int maxn=1e5+10;
    int n;
    pll p[maxn];
    inline ll gcd(ll m,ll n){return n?gcd(n,m%n):m;}
    int main()
    {
        cin>>n;
        for(int i=0;i<n;i++) scanf("%lld%lld",&p[i].first,&p[i].second);
        ll S2=0, b=0;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            S2+=p[i].first*p[(i+1)%n].second-p[i].second*p[(i+1)%n].first;
            b+=gcd(abs(p[i].first-p[(i+1)%n].first),abs(p[i].second-p[(i+1)%n].second));
        }
        cout<<(abs(S2)-b+2)/2<<endl;
    }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/isakovsky/p/11291650.html
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