前提摘要见上一篇
01背包问题时间和空间复杂度都是O(nV), 空间复杂度可以继续优化为O(V) 算法笔记P444
滚动数组代码
1 dp[N];//这里只用一维的
2 for(int i=1; i<=n; i++)//对每个数判断，可反
3 {
4 for(int j=m; j>=weight[i]; j--)/
5 dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);
6 }
这里用到还是熟悉的数据熟悉的内容：
然后开始循环，先说下代码里面的n是物品,m是背包容量:，真实的值是n=6,m=12
1)
最初i=1,j=12表示只有1号物品也就是(4-8)，背包容量为12时候。这时候dp[12]=max(dp[12],dp[12-4(1号物品体积)]+8(1号物品价值)])=8;
这样一直到m[1][4]都是8,。当包容量小于此时1号物品容量时候跳出循环。
这时候dp数组
2）
这是第二次n循环，这时候i=2，包含了一号物品(4-8)和二号物品(6-10) ；此时包可以装下
dp[12]=max(dp[12],dp[12-6]+10)=dp[12-6]为8所以这dp[12]=18.同理dp[10]dp[11]都是18。
dp[9]-dp[6]时候 比如max(dp[9],dp[9-6]+10)=dp[3]+10为10所以最终为10。
这时候dp数组
3）
i=3, 包含了一号物品(4-8)和二号物品(6-10) 和三号物品(2-6),
dp[12]=max(dp[12],dp[12-2]+6) = dp[12-2]+6 =24
dp[11]=max(dp[11],dp[11-2]+6) = dp[11]=18
dp[10]=max(dp[10],dp[10-2]+6) = dp[10] =18
dp[9]=max(dp[9],dp[9-2]+6) = dp[7] +6 =16
dp[8]=16
dp[7] dp[6] =14
dp[5] dp[4] = 8
dp[3] = dp[1]+6 = 6
dp[2]=6
到这里气候就差不多了，下面都是类似的。
看起来没什么问题了。
不用滚动数组的话代码这样
这就是上一次的数值。滚动数组是把它保留了然后从后往前更新，直到背包容量小于物品容量的话更新就不用了，直接拿上一次就好了。
ps 如果第二个for正向遍历会怎样，也就是j从w[i]开始
然后开始循环，先说下代码里面的n是物品,m是背包容量:，真实的值是n=6,m=12
1)
最初i=1,j=4开始 表示只有1号物品也就是(4-8)，背包容量为12时候。这时候dp[4]=max(dp[4],dp[4-4(1号物品体积)]+8(1号物品价值)])=8;
这样一直到m[1][7]都是8。
然而dp[8]=max(dp[8],dp[8-4]+8) = d[4]+8 = 16
同理d[12] = d[8]+8 =24
这时候就变成完全背包问题了
这时候dp数组
0 0 0 0 8 8 8 8 16 16 16 16 24
2）
这是第二次n循环，这时候i=2, j=6开始，包含了一号物品(4-8)和二号物品(6-10) ；此时包可以装下
dp[6]=max(dp[6],dp[6-6]+10)=dp[0]+10为10 所以这dp[6]=10. 同理dp[6]到dp[7]都是10。
dp[8]=max(dp[8],dp[8-6]+10)=dp[8] = 第一步中16
dp[9]=16
dp[10] dp[11] =18
dp[12] = max(dp[12],dp[12-6]+10)=dp[12]为24所以最终为24。 (就是完全背包问题
这时候dp数组
0 0 0 0 8 8 10 10 16 16 18 18 24
3）
i=3, j从2开始 包含了一号物品(4-8)和二号物品(6-10) 和三号物品(2-6)
dp[2]=max(dp[2],dp[2-2]+6) = dp[2-2]+6 =6
dp[3]=6
dp[4]=max(dp[4],dp[4-2]+6) = dp[2]+6 =12
dp[4]错误！ 因为从前到后会覆盖计算？
（遍历的方向上需要从后往前遍历，从而保证子问题需要用到的数据不被覆盖https://www.cxyxiaowu.com/7895.html）