矩乘板子题
(k le 15) 且 (a_{i}= { extstyle sum_{j=i}^{1}}c_{j}*a_{i-j} (i>k)) (这一看就很矩乘) 考虑矩阵加速。
题目让求一段区间的和，可以转化为两前缀和相减的形式，同时，让矩阵边长加上 (1) , 多加的 (1) 用来储存前缀和
状态矩阵 (f_{i}) 存储:
[egin{bmatrix}
a_{i}&a_{i+1} &a_{i+2} &··· &a_{i+k} &S_{i-1}
end{bmatrix}]
我们想让他转移到 (f_{i+1}) 即为:
[egin{bmatrix}
a_{i+1}&a_{i+2} &a_{i+3} &··· &a_{i+k+1} &S_{i}
end{bmatrix}]
很容易得到，转移矩阵 (A) 为:
[egin{bmatrix}
0 &0 &0 &··· &c_{k} &1 \
1 &0 &0 &··· &c_{k-1} &0 \
0 &1 &0 &··· &c_{k-2} &0 \
··· &··· &··· &··· &··· &··· \
0 &0 &0 &··· &c_{1} &0 \
0 &0 &0 &··· &0 &1
end{bmatrix}]
那矩乘的柿子就有了:
[egin{bmatrix}
a_{i}&a_{i+1} &a_{i+2} &··· &a_{i+k} &S_{i-1}
end{bmatrix}
egin{bmatrix}
0 &0 &0 &··· &c_{k} &1 \
1 &0 &0 &··· &c_{k-1} &0 \
0 &1 &0 &··· &c_{k-2} &0 \
··· &··· &··· &··· &··· &··· \
0 &0 &0 &··· &c_{1} &0 \
0 &0 &0 &··· &0 &1
end{bmatrix}
=
egin{bmatrix}
a_{i+1}&a_{i+2} &a_{i+3} &··· &a_{i+k+1} &S_{i}
end{bmatrix}
]
举个栗子，对于 (k=4) 时，有:
[egin{bmatrix}
a_{i}& a_{i+1}& a_{i+2}& a_{i+3}& S_{i-1}
end{bmatrix}
egin{bmatrix}
0& 0& 0& c_{4}& 1\
1& 0& 0& c_{3}& 0\
0& 1& 0& c_{2}& 0\
0& 0& 1& c_{1}& 0\
0& 0& 0& 0&1
end{bmatrix}
=
egin{bmatrix}
a_{i+1}& a_{i+2}& a_{i+3}& a_{i+4}& S_{i}
end{bmatrix}]
从 (S_{0}) 计算到 (S_{n}) 需要进行矩阵乘法需要使 (f_{0}) 乘 (n) 次 (A),
及要计算 (f_{0}*A^{n}) 计算 (A^{n}) 用矩阵快速幂加速运算即可。
Code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 17
#define LL long long
using namespace std;
LL k,b[N],c[N],n,m,mod;
struct matrix
{
LL a[N][N];
void clear()//矩阵清空
{
memset(a,0,sizeof(a));
}
void build()//建立单位矩阵
{
memset(a,0,sizeof(a));
for(register int i=1;i<=k;i++)
a[i][i]=1;
}
void mat_mod()//矩阵取模
{
for(register int i=1;i<=k;i++)
for(register int j=1;j<=k;j++)
a[i][j]=a[i][j]%mod;
}
void print()//矩阵输出
{
for(register int i=1;i<=k;i++)
{
for(register int j=1;j<=k;j++)
printf("%lld ",a[i][j]);
printf("
");
}
}
};
matrix operator *(const matrix x,const matrix y)//矩阵乘法
{
matrix ans;
ans.clear();
for(register int i=1;i<=k;i++)
for(register int j=1;j<=k;j++)
for(register int p=1;p<=k;p++)
ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+x.a[i][p]*y.a[p][j]%mod)%mod;
return ans;
}
inline LL qr()
{
char ch=0;LL w=1,x=0;
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
while(ch<='9'&&ch>='0'){x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();}
return x*w;
}
matrix poww(matrix x,LL opl)//矩阵快速幂
{
matrix ans;
ans.build();//创建单位矩阵
while(opl)
{
if(opl&1)
ans=ans*x;
x=x*x;
opl>>=1;
}
return ans;
}
int main()
{
k=qr();
for(register int i=1;i<=k;i++)
b[i]=qr();
for(register int i=1;i<=k;i++)
c[i]=qr();
n=qr();m=qr();mod=qr();
k++;
matrix A;//A为转化矩阵
A.clear();
for(register int i=2;i<k;i++)//给A填数
A.a[i][i-1]=1;
for(register int i=1;i<k;i++)
A.a[i][k-1]=c[k-i];
A.a[1][k]=1;
A.a[k][k]=1;
A.mat_mod();
matrix f1,f2;
f1.clear();//f1,f2为状态矩阵
f2.clear();
for(register int i=1;i<k;i++)//给f1,f2填数
f1.a[1][i]=f2.a[1][i]=b[i];
f1.mat_mod();
f2.mat_mod();
matrix jc1=poww(A,n-1ll);
matrix jc2=poww(A,m);//A^m
f1=f1*jc1;//计算前缀和
f2=f2*jc2;
printf("%lld
",((f2.a[1][k]-f1.a[1][k])%mod+mod)%mod);//前缀和减一下即为最终答案
return 0;
}