扩欧(exgcd讲解)

注意本文的证明都来源于这位大大大大大大大牛

知识点.扩展欧几里得求逆元

看完下面的证明后建议联系一下这题同余方程
可以对exgcd的用途和写法有有初步了解。

(问题描述:对于三个自然数 a,b,c ，求解 ax+by=c 的 (x,y) 的整数解)

(先说一下贝祖定理: 两个整数 a、b 是互质的，等价于方程 ax+by=1有整数解。)

(更一般的，对于任意的k有ax+by=gcd(a,b)*k)有整数解

注意，接下来才是正题

我们想求一组x,y使得

[ax+by=gcd(a,b) ]

(根据b!=0可得)

[gcd(a,b)=gcd(b,a\%b) ]

那就可以假设有(x'、y'满足)

[bx'+(a\%b)y'=gcd(b,a\%b) ]

(替换一下也就是)

[ax+by=bx'+(a\%b)y' ]

(注意到(frac{a}{b}向下取整))

[a \% b=a-(frac{a}{b})b ]

(替换进去得到)

[ax+by=bx'+(a-(frac{a}{b})b)y' ]

(既然左边有a,b。那我们也对右边提取a,b)

[ax+by=ay'+b(x'-frac{a}{b}y') ]

聪明的你一定发现了这个东西是个递归的式子，那么我们肯定要找到那组base case（也就是递归基）.

(这样递归下去，当b=0时要满足ax+by=gcd(a,b).即为x=1,y=0)

void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
	if(!b)	x=1,y=0;
	else	exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
}

(算i对p的逆元时)

(exgcd(i,p,x,y)算出的x就是逆元了。)