注意本文的证明都来源于这位大大大大大大大牛
知识点.扩展欧几里得求逆元
看完下面的证明后建议联系一下这题同余方程
可以对exgcd的用途和写法有有初步了解。
(问题描述:对于三个自然数 a,b,c ，求解 ax+by=c 的 (x,y) 的整数解)
(先说一下贝祖定理: 两个整数 a、b 是互质的，等价于方程 ax+by=1有整数解。)
(更一般的，对于任意的k有ax+by=gcd(a,b)*k)有整数解
注意，接下来才是正题
我们想求一组x,y使得
[ax+by=gcd(a,b)
]
(根据b!=0可得)
[gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)
]
那就可以假设有(x'、y'满足)
[bx'+(a\%b)y'=gcd(b,a\%b)
]
(替换一下也就是)
[ax+by=bx'+(a\%b)y'
]
(注意到(frac{a}{b}向下取整))
[a \% b=a-(frac{a}{b})b
]
(替换进去得到)
[ax+by=bx'+(a-(frac{a}{b})b)y'
]
(既然左边有a,b。那我们也对右边提取a,b)
[ax+by=ay'+b(x'-frac{a}{b}y')
]
聪明的你一定发现了这个东西是个递归的式子，那么我们肯定要找到那组base case（也就是递归基）.
(这样递归下去，当b=0时要满足ax+by=gcd(a,b).即为x=1,y=0)
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
if(!b) x=1,y=0;
else exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
}
(算i对p的逆元时)
(exgcd(i,p,x,y)算出的x就是逆元了。)