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  • 搜索+简单dp

    前言:即使是简单的递归,在复杂度过高时也可以使用简单的dp。
    一般有两种情况,一是利用dp思想求最优子结构进行搜索剪枝,二是利用搜索进行dp数组的填充。

    例题一、hdu1978

    题目大意:这是一个简单的生存游戏,你控制一个机器人从一个棋盘的起始点(1,1)走到棋盘的终点(n,m)。游戏的规则描述如下:
    1.机器人一开始在棋盘的起始点并有起始点所标有的能量。
    2.机器人只能向右或者向下走,并且每走一步消耗一单位能量。
    3.机器人不能在原地停留。
    4.当机器人选择了一条可行路径后,当他走到这条路径的终点时,他将只有终点所标记的能量。
    在这里插入图片描述
    如上图,机器人一开始在(1,1)点,并拥有4单位能量,蓝色方块表示他所能到达的点,如果他在这次路径选择中选择的终点是(2,4)

    点,当他到达(2,4)点时将拥有1单位的能量,并开始下一次路径选择,直到到达(6,6)点。
    我们的问题是机器人有多少种方式从起点走到终点。这可能是一个很大的数,输出的结果对10000取模。

    一开始的思路:既然已知迷宫起点终点,果断dfs。
    dfs最重要的一点就是明确函数中应有的参数和结束条件
    在这里,很显然终止条件是到达右下角的点,所以函数中参数要有x,y坐标。又因为在每个点有对应的能量,由能量决定下一步能走到哪里进行枚举,所以参数还应该包含当前点的能量。

    #include <bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    int n,m,a[109][109];
    int ans;//答案 
    bool p(int q,int w)
    {
    	if(q>=0&&q<n&&w>=0&&w<m)
    		return true;
    	else
    		return false;
    }
    void dfs(int power,int x,int y)
    {
    	if(x==n-1&&y==m-1)
    	{
    		ans++;
    		ans%=10000;
    		return;
    	}
    	for(int i=0;i<=power;i++)
    	{
    		if(x+i>=n)
    			break;
    		for(int j=0;j<=power-i;j++)
    		{
    			if(y+j>=m)
    				break;
    			if(i==0&&j==0)
    				continue;
    			dfs(a[x+i][y+j],x+i,y+j);
    		}
    	}
    }
    int main()
    {
    	int t;
    	cin>>t;
    	while(t--)
    	{
    		cin>>n>>m;
    		for(int i=0;i<n;i++)
    		{
    			for(int j=0;j<m;j++)
    				cin>>a[i][j];
    		}
    		dfs(a[0][0],0,0);
    		cout<<ans;
    	}
    }
    

    很遗憾,完全超时。想来也是,100*100的棋盘还有能量,怎么可能跑得了,仔细一想剪枝也无从下手,因为每一步都是必须要走的。
    但是,我们从终点开始看,很显然最后一行的元素只能一直向右走。那我们从最后一行m-1个元素看起,从这里出发只有一种走法,再看第m-2个元素,如果能量大于1,则可以一步走到终点,也可以先走到m-1,那走法就加上dp[n-1][m-1]。
    由此一来,状态转移方程就容易得出。使用dfs从最后一行枚举每个点进行dfs,看它能到达哪些点,每到一个点就加上那个点在dp数组中的值,一步一步向前搜索。
    在这里插入图片描述
    蓝色块是起点能到达的格子,走法就是每个格子的dp数和嘛!
    代码如下

    #include <bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    int n,m,a[209][209],dp[209][209];
    int dfs(int power,int x,int y,int k)
    {
    	int sumn=k;
    	if(dp[x][y]!=0)
    		return dp[x][y];
    	for(int i=0;i<=power;i++)
    	{
    		if(x+i>=n)//防止越界
    			break;
    		for(int j=0;j<=power-i;j++)
    		{
    			if(y+j>=m)//防止越界
    				break;
    			if(i==0&&j==0)//不能待在原地不懂
    				continue;
    			sumn+=dfs(a[x+i][y+j],x+i,y+j,0);
    		}
    	}
    	return sumn;
    }
    int main()
    {
    	int t;
    	cin>>t;
    	while(t--)
    	{
    		cin>>n>>m;
    		memset(dp,0,sizeof(dp));
    		for(int i=0;i<n;i++)
    		{
    			for(int j=0;j<m;j++)
    				cin>>a[i][j];
    		}
    		dp[n-1][m-1]=1;dp[n-1][m]=dp[n][m-1]=1;。。初始化
    		for(int i=n-1;i>=0;i--)
    			for(int j=m-1;j>=0;j--)
    				dp[i][j]=dfs(a[i][j],i,j,0)%10000;//dfs就是求当前格子的走法
    		cout<<dp[0][0]<<endl;
    	}
    }
    
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