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  • A. Hilbert's Hotel(数学)

    传送门

    (看了一下网上都没什么题解,自己写一篇吧,对你有帮助的话留个言吧~)

    (color{Orange}{----------------------分割------------------------})

    (color{Green}{一、分析问题})

    (对于给定的n和数组a,其实是有循环存在的)

    (比如[0,n)模n后余数必定是[0,n))

    ([n,2n)模n后余数必定是[0,n))

    (现在我们的目的是判断是否所有数都是互不相等的。)

    (color{Orange}{二、举例子发现规律})

    (拿这组样例来说)

    (4)
    (5 5 5 1)

    (按照我们上面的循环节,把操作后得到的数写出来)

    ([0,3]:5 6 7 4)
    ([4,7]:9 10 11 8)
    (.............)

    (可以发现,[4,7]就是由[0,3]都加n得来的,这很容易理解)

    (那么我们可以把所有循环节看成由[0,3]加上nk得来的)

    (所以现在的问题是已知集合={5+nk,6+nk,7+nk,4+nk},求是否有相同的数字)

    (因为要互不相同,所以5、6、7、4模n后应该互不相等)

    (color{Red}{为什么?因为如果模n后相等,就一定存在某个k使得x_1=x_2+kn})

    (color{Purple}{三、算法实现})

    (问题到这里应该就很简单了)

    (先处理出[0,n)操作后得到的数字(也就是先处理一个循环节))

    (然后对处理后的每个数对n求余,如果余数互不相等说明不存在重复的数字)

    #include <bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    const int maxn=2e5+9;
    int n,t;
    int a[maxn],b[maxn];
    int main()
    {
    	cin>>t;
    	while(t--)
    	{
    		cin>>n;
    		for(int i=0;i<n;i++)
    			scanf("%d",&a[i]);
    		for(int i=0;i<n;i++)
    			b[i]=i+a[i%n];//处理第一个循环节 
    		for(int i=0;i<n;i++)	b[i]=(b[i]%n+n)%n;//对n取余 
    		sort(b,b+n);//排序后,如果余数互不相等,必定是0,1,2...n-1 
    		int flag=1;
    		for(int i=0;i<n;i++)
    		if(b[i]!=i)	flag=0;
    		if(flag)	cout<<"YES";
    		else	cout<<"NO";
    		cout<<endl;
    	}
    }
    
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