【算法】之常见的排序算法

　　我们平时说的“排序”，指的是内部排序，即使用内存资源进行排序的。除了内部排序之外，还有外部排序。本文主要介绍内部排序。

　　内部排序分为插入排序、选择排序、交换排序、归并排序等。其中，插入排序又分为直接插入排序和希尔排序；选择排序分为简单选择排序和堆排序；交换排序又分为冒泡排序和快速排序。

　　也就是说，本文中主要介绍其中排序方法，分别是：直接插入排序、希尔排序、简单选择排序、堆排序、冒泡排序、快速排序、归并排序。

1、直接插入排序

　　直接插入排序（Straight Insertion Sort）的基本思想是：将一个记录插入到已排序好的有序表中，从而得到一个新的、记录数增1的有序表。即：先将序列的第1个元素看成是一个有序的子序列，然后从第2个元素开始逐个进行插入，直至整个序列有序为止。直接插入排序的核心代码如下：

#include <cstdio>

// 直接插入排序的核心函数
void performSort(int array[], int n) {
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        int tmp = array[i];
        int j = i - 1;
        for (; j >= 0; j--) {
            if (array[j] > tmp) {
                array[j + 1] = array[j];
            } else {
                break;
            }
        }
        array[j + 1] = tmp;
    }
}

2、希尔排序

 　　希尔排序（Shell's Sort）的基本思想是：先将整个待排元素序列分割成若干个子序列（由相隔某个“增量”的元素组成的）分别进行直接插入排序，然后依次缩减增量再进行排序，待整个序列中的元素基本有序（增量足够小）时，再对全体元素进行一次直接插入排序。举例说明：

例如，对于一个整形数组：49 38 65 97 76 13 27 71 76 34
数组长度为10，我们可以把最初的增量设置为数组总长度的一半：5
即：第一遍做直接插入排序的元素有：49和13、38和27、65和71、97和76、76和34。
这样，经过第一遍的排序，得到的数组结果为：13 27 65 76 34 49 38 71 97 76
第二遍，我们将增量减少为上一边的一半：5 / 2 = 2
同上，经过第二遍的排序，得到的数组结果为：13 27 34 49 38 71 65 76 97 76
第三遍，我们再讲增量减少为上一遍的一半：2 / 2 = 1
此时的增量是1，无法再减少增量，因此，我们只需要再进行一次直接插入排序，就可以得到最终的排序结果了
由于经过前两次的增量排序，已经把大致的结果排了出来，因此，最后一次的排序需要交换的元素就很少了

　　希尔排序的核心代码如下：

#include <cstdio>

// 希尔排序的核心函数
void performSort(int array[], int n) {
    for (int gap = n / 2; gap > 0; gap /= 2) {
        for (int i = gap; i < n; i++) {
            for (int j = i - gap; j >= 0 && array[j] > array[j + gap]; j -= gap) {
                int temp = array[j];
                array[j] = array[j + gap];
                array[j + gap] = temp;
            }
        }
    }
}

3、简单选择排序

 　　简单选择排序（Simple Selection Sort）的基本思想是：在要排序的一组数中，选出最小（或者最大）的一个数与第1个位置的数交换；然后在剩下的数当中再找最小（或者最大）的与第2个位置的数交换，依次类推，直到第n-1个元素（倒数第二个数）和第n个元素（最后一个数）比较为止。可以发现，在简单选择排序中，一趟只能确定一个元素（即最小的元素）。我们可以对简单选择排序进行改进，使得在一趟中可以确定两个元素（即最大的元素和最小的元素），这样可以有效地减少循环所需的资源，提高效率。简单选择排序的核心代码如下：

#include <cstdio>

// 简单选择排序
void performSort(int array[], int n) {
    int i, j, min, max, tmp;
    for (i = 1; i <= n / 2; i++) {
        min = i;
        max = i;
        for (j = i + 1; j <= n - i; j++) {
            if (array[j] > array[max]) {
                max = j;
                continue;
            }
            if (array[j] < array[min]) {
                min = j;
            }
        }
        tmp = array[i - 1];
        array[i - 1] = array[min];
        array[min] = tmp;
        tmp = array[n - i];
        array[n - i] = array[max];
        array[max] = tmp;
    }
}

4、堆排序

　　在了解堆排序之前，先了解一下关于堆（二叉堆）的知识：

（1）二叉堆的特性：
父节点的值总是大于或等于（小于或等于）任何一个子节点的值（父节点大于或等于任何一个子节点的堆称为最大堆，反之是最小堆）；
每个节点的左子树和右子树都是一个二叉堆（都是最大堆或最小堆）。
（2）二叉堆的存储结构：
二叉堆一般用数组来表示。下标为i的节点的父节点的下标是(i-1)/2；它的左子节点的下标为i*2+1；它的右子节点的下标为i*2+2。
（3）通过数组建立二叉堆：
先将数组转化为一棵完全二叉树，然后再根据最大堆或最小堆的特性，交换树中的某些元素，最终就可以形成一个二叉堆。
（4）向二叉堆中插入元素：
将新插入的元素添加到数组的末尾（即树的最后一个叶子节点），然后再根据最大堆或最小堆的特性，交换树中的某些元素，恢复二叉堆的次序。
（5）从二叉堆中删除元素：
这里的删除总是删除树根元素，此时要将堆中的最后一个元素填补树根的空缺，然后根据特性交换元素，恢复二叉堆的次序。

　　堆排序的基本思想是：利用了堆（二叉堆）这种数据结构的特性，将排序操作的时间复杂度从n^2降为了n*logn。开始的时候，创建一个堆，找到堆顶元素（即数组中最大的元素），与数组中的最后一个元素交换位置。以后每个找到的最大的数都放到前一次找到的数的前面，这样，就形成了一个从后往前的递减数组，从而实现了递增排序。堆排序的核心代码如下：

#include <cstdio>

// 对堆进行调整
void adjustHeap(int array[], int i, int n) {
    int j = 2 * i + 1, temp = array[i];
    while (j < n) {
        if (j + 1 < n && array[j + 1] > array[j]) j++; //在左右孩子中找最小的
        if (array[j] <= temp) break;
        array[i] = array[j]; // 把较小的子结点往上移动,替换它的父结点
        i = j;
        j = 2 * i + 1;
    }
    array[i] = temp;
}

// 将数组调整成堆，调整完毕后第一个元素是数组中最小的元素
void buildHeap(int array[], int n) {
    for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)
        adjustHeap(array, i, n);
}

// 堆排序的核心函数
void performSort(int array[], int n) {
    buildHeap(array, n);
    for (int i = n - 1; i > 0; --i) {
        int temp = array[i];
        array[i] = array[0];
        array[0] = temp;
        adjustHeap(array, 0, i);
    }
}

5、冒泡排序

　　传统冒泡排序的基本思想是： 在要排序的一组数中，对当前还未排好序的范围内的全部数，自上而下对相邻的两个数依次进行比较和调整，让较大的数往下沉，较小的往上冒。即：每当两相邻的数比较后发现它们的排序与排序要求相反时，就将它们互换。这种方法每一趟排序操作只能找到一个最大值或最小值。我们考虑利用在每趟排序中进行正向和反向两遍冒泡的方法，一次可以得到两个最终值(最大者和最小者)，从而使排序趟数几乎减少了一半。改进后的冒泡排序的核心代码如下：

#include <cstdio>

// 冒泡排序的核心函数
void performSort(int array[], int n) {
    int low = 0;
    int high = n - 1; // 设置变量的初始值
    int tmp, j;
    while (low < high) {
        for (j = low; j < high; ++j) // 正向冒泡,找到最大者
            if (array[j] > array[j + 1]) {
                tmp = array[j];
                array[j] = array[j + 1];
                array[j + 1] = tmp;
            }
        --high; // 修改high值, 前移一位
        for (j = high; j > low; --j) // 反向冒泡,找到最小者
            if (array[j] < array[j - 1]) {
                tmp = array[j];
                array[j] = array[j - 1];
                array[j - 1] = tmp;
            }
        ++low; // 修改low值,后移一位
    }
}

6、快速排序

　　快速排序的基本思想如下：

1）选择一个基准元素，通常选择第一个元素或者最后一个元素；
2）通过一趟排序将待排序的记录分割成独立的两部分，其中一部分记录的元素值均比基准元素值小，另一部分记录的元素值比基准值大；
3）此时基准元素在其排好序后的正确位置；
4）然后分别对这两部分记录用同样的方法继续进行排序，直到整个序列有序。

　　快速排序的核心代码如下：

#include <cstdio>

void swap(int &a, int &b) {
    int tmp = a;
    a = b;
    b = tmp;
}

int partition(int array[], int low, int high) {
    int privotKey = array[low]; // 基准元素
    while (low < high) { // 从表的两端交替地向中间扫描
        while (low < high && array[high] >= privotKey) --high; // 从high 所指位置向前搜索，至多到low+1 位置。将比基准元素小的交换到低端
        swap(array[low], array[high]);
        while (low < high && array[low] <= privotKey) ++low;
        swap(array[low], array[high]);
    }
    return low;
}

void quickSort(int array[], int low, int high) {
    if (low < high) {
        int privotLoc = partition(array, low, high); // 将表一分为二
        quickSort(array, low, privotLoc - 1); // 递归对低子表递归排序
        quickSort(array, privotLoc + 1, high); // 递归对高子表递归排序
    }
}

// 快速排序的核心函数
void performSort(int array[], int n) {
    quickSort(array, 0, n - 1);
}

7、归并排序

 　　归并排序的基本思想是：将两个（或多个）有序表合并成一个新的有序表，即把待排序序列分为若干个子序列，对每个子序列进行排序使其有序，最后再把有序子序列合并为整体有序的序列。归并排序的核心代码如下：

#include <cstdio>

// 将一个数组的两个有序数列a[first...mid]和a[mid+1...last]合并
void mergeArray(int array[], int temp[], int first, int mid, int last) {
    int i = first, j = mid + 1;
    int m = mid, n = last;
    int k = 0;
    while (i <= m && j <= n) {
        if (array[i] <= array[j]) temp[k++] = array[i++];
        else temp[k++] = array[j++];
    }
    while (i <= m) temp[k++] = array[i++];
    while (j <= n) temp[k++] = array[j++];
    for (i = 0; i < k; i++) array[first + i] = temp[i];
}

void mergeSort(int array[], int temp[], int first, int last) {
    if (first < last) {
        int mid = (first + last) / 2;
        mergeSort(array, temp, first, mid);
        mergeSort(array, temp, mid + 1, last);
        mergeArray(array, temp, first, mid, last);
    }
}

// 归并排序的核心函数
void performSort(int array[], int n) {
    int temp[n];
    mergeSort(array, temp, 0, n - 1);
}

七大排序方法总结

1、各种排序方法的时间复杂度和稳定性：

（注：若待排序的序列中，存在多个具有相同关键字的记录，经过排序，这些记录的相对次序保持不变，则称该算法是稳定的。）

2、不同情况下各种排序算法的选择原则：

（1）当原表有序或基本有序时，直接插入排序和冒泡排序将大大减少比较次数和移动记录的次数，时间复杂度可降至O(n)；
（2）当数据量较大时，应采用时间复杂度为O(n*log2^n)的排序方法：快速排序、堆排序或归并排序；
（3）当数据量较小时，可采用直接插入或直接选择排序；
（4）一般不使用或不直接使用传统的冒泡排序；
（5）当数据量较大、内存空间允许、且要求稳定性时，可以选择使用归并排序。