数据结构基础(17) --二叉查找树的设计与实现

二叉排序树的特征

二叉排序树或者是一棵空树,或者是具有如下特性的二叉树：

    1.每一元素都有一个键值, 而且不允许重复;

    2.若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；

    3.若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值；

    4.它的左、右子树也都分别是二叉排序树。

二叉排序树保存的元素构造

template <typename Type>
class Element
{
public:
    Element(const Type& _key): key(_key) {}
    Element():key(0) {}
    Type key;
    //在这儿可以很容易的添加更多的数据
    //方便对Element进行扩展
};

二叉排序树节点的设计与实现

template <typename Type>
class BstNode
{
    friend class BsTree<Type>;

public:
    BstNode(const Element<Type> &_data = 0,
            BstNode *_leftChild = NULL,
            BstNode *_rightChild = NULL)
        : data(_data), leftChild(_leftChild), rightChild(_rightChild) {}

    const Type &getData() const
    {
        return data.key;
    }

private:
    //Node当中保存的是Element元素
    Element<Type> data;
    BstNode *leftChild;
    BstNode *rightChild;

    void display(int i);
};

//中序遍历二叉树:
//能够保证该二叉树元素按照递增顺序打印出来
template <typename Type>
void BstNode<Type>::display(int i)
{
    //首先访问左子树
    if (leftChild != NULL)
        leftChild->display(2*i);

    //访问中间节点
    //Number表示为如果该树为完全二叉树/满二叉树, 其编号为几
    std::cout << "Number: " << i << ", data.key = " << data.key << std::endl;

    //访问右子树
    if (rightChild != NULL)
        rightChild->display(2*i+1);
}

二叉排序树的构造

template <typename Type>
class BsTree
{
public:
//构造与析构
    BsTree(BstNode<Type> *init = NULL): root(init) {}
    ~BsTree()
    {
        if (!isEmpty())
            makeEmpty(root);
    }

//二叉查找树的三大主力:插入, 删除, 搜索(又加入了一个迭代搜索)
    //插入
    bool insert(const Element<Type> &item);
    //删除
    void remove(const Element<Type> &item)
    {
        remove(item, root);
    }
    //递归搜索
    const BstNode<Type>* search(const Element<Type> &item)
    {
        return search(item, root);
    }
    //迭代搜索
    const BstNode<Type> *searchByIter(const Element<Type> &item);

//实用函数
    void display() const
    {
        if (root != NULL)
            root->display(1);
    }
    void visit(BstNode<Type> * currentNode) const
    {
        std::cout << "data.key = "
                  << currentNode->data.key << std::endl;
    }
    bool isEmpty() const
    {
        return root == NULL;
    }
    void makeEmpty(BstNode<Type> *subTree);
    //中序遍历
    void levelOrder() const;

private:
    const BstNode<Type>* search(const Element<Type> &item,
                                const BstNode<Type> *currentNode);
    void remove(const Element<Type> &item,
                BstNode<Type> *¤tNode);

private:
    BstNode<Type> *root;
};

二叉排序树的插入算法

    根据动态查找表的定义，“插入”操作在查找不成功时才进行；若二叉排序树为空树，则新插入的结点为新的根结点；否则，新插入的结点必为一个新的叶子结点，其插入位置由查找过程得到。

//二叉排序树插入的实现与解析
template <typename Type>
bool BsTree<Type>::insert(const Element<Type> &item)
{
    //如果这是新插入的第一个节点
    if (root == NULL)
    {
        root = new BstNode<Type>(item);
        root->leftChild = root->rightChild = NULL;
        return true;
    }

    BstNode<Type> *parentNode = NULL;   //需要插入位置的父节点
    BstNode<Type> *currentNode = root;  //需要插入的位置
    while (currentNode != NULL)
    {
        //如果二叉树中已经含有了该元素, 则返回插入出错
        if (item.key == currentNode->data.key)
            return false;

        parentNode = currentNode;
        //如果要插入的元素大于当前指向的元素
        if (item.key < currentNode->data.key)
            currentNode = currentNode->leftChild;   //向左搜索
        else
            currentNode = currentNode->rightChild;  //向右搜索
    }

    //此时已经查找到了一个比较合适的插入位置了
    if (item.key < parentNode->data.key)
        parentNode->leftChild = new BstNode<Type>(item);
    else
        parentNode->rightChild = new BstNode<Type>(item);

    return true;
}

二叉排序树的查找算法

若二叉排序树为空，则查找不成功；否则:

    1.若给定值等于根结点的关键字，则查找成功；

    2.若给定值小于根结点的关键字，则继续在左子树上进行查找；

    3.若给定值大于根结点的关键字，则继续在右子树上进行查找。

//二叉排序树搜索的设计与实现
//递归搜索
template <typename Type>
const BstNode<Type>* BsTree<Type>::search(const Element<Type> &item,
        const BstNode<Type> *currentNode)
{
    if (currentNode == NULL)
        return NULL;
    if (currentNode->data.key == item.key)
        return currentNode;

    if (item.key < currentNode->data.key)
        return search(item, currentNode->leftChild);
    else
        return search(item, currentNode->rightChild);
}

//迭代搜索
template <typename Type>
const BstNode<Type> *BsTree<Type>::searchByIter(const Element<Type> &item)
{
    for (BstNode<Type> *searchNode = root;
            searchNode != NULL;
            /*empty*/)
    {
        if (item.key == searchNode->data.key)
            return searchNode;

        if (item.key < searchNode->data.key)
            searchNode = searchNode->leftChild;
        else
            searchNode = searchNode->rightChild;
    }

    return NULL;
}

二叉排序树的删除算法

    和插入相反，删除在查找成功之后进行，并且要求在删除二叉排序树上某个结点之后，仍然保持二叉排序树的特性。

 

删除分三种情况:

    1.被删除的结点是叶子节点:其双亲结点中相应指针域的值改为“空”, 并将该节点删除;

    2.被删除的结点只有左子树或者只有右子树:其双亲结点的相应指针域的值改为 “指向被删除结点的左子树或右子树”, 然后删除该节点;

    3.被删除的结点既有左子树，也有右子树:以其前驱替代之，然后再删除该前驱结点;

//二叉排序树节点删除的实现与解析如下
template <typename Type>
void BsTree<Type>::remove(const Element<Type> &item,
                          BstNode<Type> *¤tNode)
{
    if (currentNode != NULL)
    {
        //如果要删除的元素小于当前元素
        if (item.key < currentNode->data.key)
            remove(item, currentNode->leftChild);   //向左搜索删除
        //如果要删除的元素大于当前元素
        else if (item.key > currentNode->data.key)
            remove(item, currentNode->rightChild);  //向右搜索删除
        //如果要删除掉的元素等于当前元素(找到要删除的元素了)
        // 并且当前节点的左右子女节点都不为空
        else if ((currentNode->leftChild != NULL) && (currentNode->rightChild != NULL))
        {
            //从当前节点的右子女节点开始,
            //不断向左寻找, 找到从当前节点开始中序遍历的第一个节点
            //找到的这一个节点是在当前子树中, 大于要删除的节点的第一个节点
            BstNode<Type> *tmp = currentNode->rightChild;
            while (tmp->leftChild != NULL)
                tmp = tmp->leftChild;

            //用搜索到的节点值覆盖要删除的节点值
            currentNode->data.key = tmp->data.key;
            //删除搜索到的节点
            remove(currentNode->data, currentNode->rightChild);
        }
        //如果当前节点就是要删除的节点
        //并且其左子女(和/或)右子女为空
        //默认包含了左右子女同时为空的情况:
        //即: 在if中肯定为true
        else
        {
            BstNode<Type> *tmp = currentNode;
            //如果左子女为空
            if (currentNode->leftChild == NULL)
                //则用他的右子女节点顶替他的位置
                currentNode = currentNode->rightChild;
            //如果右子女为空
            else
                //则用他的左子女节点顶替他的位置
                currentNode = currentNode->leftChild;
            //释放节点
            delete tmp;
        }
    }
}

二叉查找树的几个实用操作

//清空二叉树
template <typename Type>
void BsTree<Type>::makeEmpty(BstNode<Type> *subTree)
{
    if (subTree != NULL)
    {
        if (subTree->leftChild != NULL)
            makeEmpty(subTree->leftChild);
        if (subTree->rightChild != NULL)
            makeEmpty(subTree->rightChild);

        delete subTree;
    }
}

//二叉查找树的层次遍历
template <typename Type>
void BsTree<Type>::levelOrder() const
{
    std::queue< BstNode<Type> * > queue;
    queue.push(root);

    while (!queue.empty())
    {
        BstNode<Type> *currentNode = queue.front();
        queue.pop();

        visit(currentNode);
        if (currentNode->leftChild != NULL)
            queue.push(currentNode->leftChild);
        if (currentNode->rightChild != NULL)
            queue.push(currentNode->rightChild);
    }
}

二叉排序树的性能分析

     对于每一棵特定的二叉排序树，均可按照平均查找长度的定义来求它的 ASL 值，显然，由值相同的 n 个关键字，构造所得的不同形态的各棵二叉排序树的平均查找长度的值不同，甚至可能差别很大(如果二叉查找树退化成一条链表, 则其插入/删除/查找的性能都会退化为O(N))。

     但是在随机情况下, 二叉排序树的搜索, 插入, 删除操作的平均时间代价为O(logN);