数据结构基础(16) --树与二叉树

树的基本术语

1.结点:{数据元素+若干指向子树的分支}

2.结点的度:分支的个数（子树的个数）

3.树的度:树中所有结点的度的最大值

4.叶子结点:度为零的结点

5.分支结点:度大于零的结点(包含根和中间结点)

6.(从根到结点的)路径：由从根到该结点所经分支和结点构成;

7.结点的层次:假设根结点的层次为1,则根的孩子为第2层，如果某节点在第L层,则其子树的根在L+1层。

8.树的深度:树中叶子结点所在的最大层次;

 

二叉树

    二叉树或为空树，或是由一个根结点加上两棵分别称为左子树和右子树的、互不交的二叉树组成。(树的度最大为2)

二叉树的重要性质:

性质1:在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点(i≥1);

性质2:深度为 k 的二叉树上至多含 (2^k)-1个结点(k≥1);

性质3:对任何一棵二叉树，若它含有n0 个叶子结点（0度结点）、n2 个度为 2的结点，则必存在关系式：n0 = n2+1。

 

两类特殊的二叉树:

  满二叉树:指的是深度为k且含有(2^k)-1个结点的二叉树。

  完全二叉树:树中所含的 n 个结点和满二叉树中编号为 1 至 n 的结点一一对应。(编号的规则为，由上到下，从左到右。如上图所示)

    完全二叉树的特点：

1.叶子节点出现在最后2层

2.对于任意结点，若其右分支下的子孙的最大层次为L,则左分支下的子孙的最大层次为L或L+1;

 

性质4:具有n个结点的完全二叉树的深度为[logn](向下取整)+1。

性质5:若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点：

(1) 若 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲，否则，编号为 [i/2](向下取整)的结点为其双亲结点；
(2) 若 2i>n，则该结点无左孩子，否则，编号为 2i 的结点为其左孩子结点；
(3) 若 2i+1>n，则该结点无右孩子结点，否则，编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。

 

二叉树的链式存储实现

说明:

    由于这篇博客仅仅是为了演示二叉树的理论, 因此代码所做的封装性以及可用性都不理想, 但由于在实际应用中, 也基本上不可能这样直接的使用二叉树, 因此也就没怎么优化他, 在此首先给大家说声抱歉;

 

二叉树节点构造

template <typename Type>
class TreeNode
{
    friend class BinaryTree<Type>;
//因为此处仅仅是为了演示, 因此将之定义为public
public:
    TreeNode(const Type &_data = Type(), TreeNode *_left = NULL, TreeNode *_right = NULL)
        : data(_data), leftChild(_left), rightChild(_right) { }

    Type data;
    TreeNode *leftChild;
    TreeNode *rightChild;
};

二叉树构造:

template <typename Type>
class BinaryTree
{
public:
    //二叉树可以进行的操作
    BinaryTree():root(NULL) {}
    bool isEmpty() const
    {
        return root == NULL;
    }
    //先序遍历
    void preOrder() const
    {
        return preOrder(root);
    }
    //中序遍历
    void inOrder() const
    {
        return inOrder(root);
    }
    //后续遍历
    void postOrder() const
    {
        return postOrder(root);
    }
    //层次遍历
    void levelOrder() const;

private:
    void preOrder(const TreeNode<Type> *rootNode) const;
    void inOrder(const TreeNode<Type> *rootNode) const;
    void postOrder(const TreeNode<Type> *rootNode) const;
    void visit(const TreeNode<Type> *node) const;

//因为此处仅仅是为了演示, 因此将之定义为public
public:
    TreeNode<Type> *root;
};

先(根)序的遍历算法：

1.若二叉树为空,则直接返回;

2.否则

    (1)访问根结点(visit);

    (2)先序遍历左子树;

    (3)先序遍历右子树;

//实现
template <typename Type>
void BinaryTree<Type>::preOrder(const TreeNode<Type> *subTree) const
{
    if (subTree != NULL)
    {
        visit(subTree);

        preOrder(subTree->leftChild);
        preOrder(subTree->rightChild);
    }
}

中(根)序的遍历算法：

1.若二叉树为空树，则空操作；

2.否则

    (1)中序遍历左子树；

    (2)访问根结点；

    (3)中序遍历右子树。

//实现
template <typename Type>
void BinaryTree<Type>::inOrder(const TreeNode<Type> *subTree)const
{
    if (subTree != NULL)
    {
        inOrder(subTree->leftChild);
        visit(subTree);
        inOrder(subTree->rightChild);
    }
}

后(根)序的遍历算法：

1.若二叉树为空树，则空操作；

2.否则

    (1)后序遍历左子树；

    (2)后序遍历右子树；

    (3)访问根结点。

//实现
template <typename Type>
void BinaryTree<Type>::postOrder(const TreeNode<Type> *subTree)const
{
    if (subTree != NULL)
    {
        postOrder(subTree->leftChild);
        postOrder(subTree->rightChild);
        visit(subTree);
    }
}

层次遍历算法与visit操作：

template <typename Type>
void BinaryTree<Type>::levelOrder() const
{
    std::queue< TreeNode<Type>* > queue;
    queue.push(root);

    while (!queue.empty())
    {
        TreeNode<Type> *currentNode = queue.front();
        queue.pop();

        visit(currentNode);
        if (currentNode->leftChild != NULL)
            queue.push(currentNode->leftChild);
        if (currentNode->rightChild != NULL)
            queue.push(currentNode->rightChild);
    }
}

template <typename Type>
void BinaryTree<Type>::visit(const TreeNode<Type> *currentNode) const
{
    cout << currentNode->data << ' ';
}

二叉树构造与运用示例

构造一颗如下的二叉树:

//代码如下
int main()
{
    BinaryTree<char> tree;
    TreeNode<char> addition('+'), subtraction('-'), multiplies('*'), divides('/');
    TreeNode<char> a('A'), b('B'), c('C'), d('D'), e('E');

    tree.root = &addition;
    addition.leftChild = &subtraction;
    addition.rightChild = &e;
    subtraction.leftChild = &multiplies;
    subtraction.rightChild = &d;
    multiplies.leftChild = ÷s;
    multiplies.rightChild = &c;
    divides.leftChild = &a;
    divides.rightChild = &b;

    cout << "preOrder: ";
    tree.preOrder();
    cout << endl;
    cout << "inOrder: " ;
    tree.inOrder();
    cout << endl;
    cout << "postOrder: ";
    tree.postOrder();
    cout << endl;

    cout << "level Order";
    tree.levelOrder();
    cout << endl;
    
    return 0;
}

遍历算法的应用举例

    1.统计二叉树中叶子结点的个数(先序遍历)

    2.求二叉树的深度(后序遍历)

    3.复制二叉树(后序遍历)