前言
笔记和图片整理来自于知乎 马同学
相似矩阵
同一个线性变换，在不同基下的矩阵，称为相似矩阵。
解释：
- (vec{v'}) 是 V2 下的点
- (vec{v'}) 通过 P 变为 V1 下的点，即 (Pvec{v'})
- 在 V1 下，通过 A 矩阵完成线性变换，即 (APvec{v'})
- 通过 (P^{-1}) 从变回 V2 下的点，即 (P^{-1}APvec{v'})
综上，我们可以有：
(Bvec{v'}=P^{-1}APvec{v'})
我们可以认为：
(B=P^{-1}AP)
那么 B 和 A 互为相似矩阵。
那么P呢？
首先我们给出空间中的一点，比如说 m 点吧：
相信大家可以理解，不论有没有基，这个点都是客观存在的。
然后，我们给出 m 点在 (vec{i'},vec{j'}) 的坐标 (vec{v'}) ：
为了表示 (vec{v'})是 (vec{i'},vec{j'}) 下的坐标，我们写成这样：
(vec{v'}=egin{pmatrix} a bend{pmatrix}=avec{i'}+bvec{j'})
如果我们知道了 (vec{i'},vec{j'}) 在 (vec{i},vec{j}) 下的坐标：
那么有：
此时，实际上 m 点的坐标，已经变到了$ vec{i},vec{j}$ 下的 (vec{v}) ：
坐标已经转换了，继续往下推：
P 其实就是：
(P=egin{pmatrix} vec{i'} & vec{j'} end{pmatrix})
要记得啊，上面的 (vec{i'},vec{j'}) 是在 (vec{i},vec{j}) 下的坐标。