1、2006 飞行员配对(二分图最大匹配)
题意：每一架飞机都必须要有能够互相配合的英籍飞行员和外籍飞行员配合。给出m个外籍飞行员，n-m个英籍飞行员，以及能够互相配合的外籍和英籍飞行员，求最多能出动多少飞机。
思路：二分图最大匹配。
1 #include<iostream> 2 #include<queue> 3 #include<cstring> 4 #include<cstdio> 5 using namespace std; 6 int n, m; 7 const int maxn = 210;//x集合和y集合总最大的点数 8 bool mp[maxn][maxn];//1表示该ij可以匹配 9 int cx[maxn];//记录x集合中匹配的y元素是哪一个 10 int cy[maxn];//记录y集合中匹配的x元素是哪一个 11 int vis[maxn];//标记该顶点是否访问过 12 int cntx; 13 bool dfs(int u) 14 { 15 for (int v = m+1; v <= n; v++) 16 { 17 if (mp[u][v] && !vis[v]) 18 { 19 vis[v] = 1; 20 if (cy[v] == -1 || dfs(cy[v]))//)//如果y集合中的v元素没有匹配或者是v已经匹配，但是从cy[v]中能够找到一条增广路 21 { 22 cx[u] = v; cy[v] = u; 23 return 1; 24 } 25 } 26 } 27 return 0; 28 } 29 int maxmatch()//匈牙利算法主函数 30 { 31 int ans = 0; 32 memset(cx, 0xff, sizeof cx);//初始值为-1表示两个集合中都没有匹配的元素！ 33 memset(cy, 0xff, sizeof cy); 34 for (int i = 1; i <= m; i++) 35 if (cx[i] == -1)//如果i未匹配 36 { 37 memset(vis, 0, sizeof(vis)); 38 ans += dfs(i); 39 } 40 return ans; 41 } 42 43 int main() 44 { 45 while (~scanf("%d%d", &m, &n)) 46 { 47 memset(mp, 0, sizeof(mp)); 48 int a, b; 49 while (scanf("%d%d", &a, &b)) 50 { 51 if (a == -1 && b == -1)break; 52 mp[a][b] = mp[b][a] = 1; 53 } 54 55 int ans = maxmatch(); 56 if(ans>0)printf("%d ", ans); 57 else printf("No Solution! "); 58 59 } 60 61 return 0; 62 }
2、1459 迷宫游戏(最短路变形)
思路：给出一个迷宫，迷宫每个房间都有一个分数。现在需要在保证从起点到终点路径最短(消耗时间最少)的情形下，使得经过的房间的分数总和最大。
思路：SPFA，同时记录分数的变化。
1 #include<iostream> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 #include<queue> 5 #include<vector> 6 #include<map> 7 using namespace std; 8 int n, m, st, ed, sum; 9 const int maxn = 510; 10 const int maxv = 700; 11 const int INF = 0x3f3f3f3f; 12 map<int, int>score; 13 struct node 14 { 15 int to; 16 int cost; 17 node(int tt = 0, int cc = 0) :to(tt), cost(cc) 18 { 19 } 20 }; 21 vector<node>mp[maxn]; 22 int cnt[maxn]; 23 int pre[maxn]; 24 int dis[maxn]; 25 bool vis[maxn]; 26 int value[maxn]; 27 bool SPFA() 28 { 29 queue<int>q; 30 memset(cnt, 0, sizeof(cnt)); 31 memset(vis, 0, sizeof(vis)); 32 memset(value, 0, sizeof(value)); 33 34 for (int i = 0; i < n; i++) 35 { 36 pre[i] = st; 37 dis[i] = INF; 38 } 39 dis[st] = 0; 40 vis[st] = true; 41 cnt[st]++; 42 q.push(st); 43 value[st] = score[st]; 44 while (!q.empty()) 45 { 46 int u = q.front(); 47 q.pop(); 48 vis[u] = false; 49 int sz = mp[u].size(); 50 for (int i = 0; i < sz; i++) 51 { 52 int v = mp[u][i].to; 53 int c = mp[u][i].cost; 54 if (dis[u] + c < dis[v]) 55 { 56 dis[v] = dis[u] + c; 57 pre[v] = u; 58 value[v] =value[u] + score[v]; 59 if (!vis[v]) 60 { 61 vis[v] = true; 62 cnt[v]++; 63 q.push(v); 64 } 65 } 66 else if (dis[u] + c == dis[v]) 67 { 68 if (value[v]<value[u] + score[v]) 69 { 70 value[v] = value[u] + score[v]; 71 pre[v] = u; 72 if (!vis[v]) 73 { 74 vis[v] = true; 75 cnt[v]++; 76 q.push(v); 77 } 78 } 79 80 } 81 } 82 } 83 return true; 84 } 85 int main() 86 { 87 while (~scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &st, &ed)) 88 { 89 score.clear(); 90 for (int i = 0; i < n; i++) 91 { 92 int val; 93 scanf("%d", &val); 94 score[i] = val; 95 mp[i].clear(); 96 } 97 for (int i = 1; i <= m; i++) 98 { 99 int u, v, c; 100 scanf("%d%d%d", &u, &v, &c); 101 mp[u].push_back(node(v, c)); 102 mp[v].push_back(node(u, c)); 103 104 } 105 SPFA(); 106 int minc = dis[ed]; 107 int sum = value[ed]; 108 printf("%d %d ", minc, sum); 109 } 110 return 0; 111 }
3、1298 圆与三角形(计算几何)
题意：给出一个圆和一个三角形，判断他们是否相交。
思路：数学模拟。
1 #include<cstdio> 2 #include<cmath> 3 #include<algorithm> 4 using namespace std; 5 struct P 6 { 7 double x, y; 8 }; 9 struct circle 10 { 11 double x, y; 12 double r; 13 }; 14 15 int cmp(double x) 16 { 17 if (fabs(x)<1e-15) return 0; 18 if (x>0) return 1; 19 return -1; 20 } 21 22 bool judge(double a, double b, double c, double &x1, double &x2) 23 { 24 double tep = b*b - 4 * a*c; 25 if (cmp(tep)<0) return 0; 26 x1 = (-b + sqrt(tep)) / (2 * a); 27 x2 = (-b - sqrt(tep)) / (2 * a); 28 return 1; 29 } 30 bool judge(circle o, P a, P c) //线段与圆的关系 31 { 32 double k, b; 33 if (cmp(a.x - c.x) == 0) 34 {//如果为垂直于x轴的线段 35 double t = o.r*o.r - (a.x - o.x)*(a.x - o.x);//半径的平方减去圆心到边的距离的平方 36 if (t<0) return 0;//在圆外 37 double maxy = max(a.y, c.y), miny = min(a.y, c.y), y1 = sqrt(t) + o.y, y2 = o.y - sqrt(t); 38 if (cmp(miny - y1) <= 0 && cmp(y1 - maxy) <= 0) return 1; 39 if (cmp(miny - y2) <= 0 && cmp(y2 - maxy) <= 0) return 1; 40 return 0; 41 } 42 k = (a.y - c.y) / (a.x - c.x);//斜率 43 b = a.y - k*a.x;//截距 44 double x1, x2; 45 int f = judge(k*k + 1, 2 * k*(b - o.y) - 2 * o.x, o.x*o.x + (b - o.y)*(b - o.y) - o.r*o.r, x1, x2);//方程联立得到系数a,b,c,x1,x2 46 if (f == 0) return 0;//b^2-4ac小于0 47 int maxx = max(a.x, c.x), minx = min(a.x, c.x); 48 if (cmp(minx - x1) <= 0 && cmp(x1 - maxx) <= 0) return 1;//交点在线段上 49 if (cmp(minx - x2) <= 0 && cmp(x2 - maxx) <= 0) return 1; 50 return 0; 51 } 52 bool judge(circle o, P a, P b, P c) 53 { 54 if (judge(o, a, b) || judge(o, a, c) || judge(o, b, c)) return 1; 55 return 0; 56 } 57 58 int main() 59 { 60 int t; 61 circle o; 62 P a, b, c; 63 scanf("%d", &t); 64 while (t--) 65 { 66 scanf("%lf%lf%lf", &o.x, &o.y, &o.r); 67 scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf", &a.x, &a.y, &b.x, &b.y, &c.x, &c.y); 68 if (judge(o, a, b, c)) puts("Yes"); 69 else puts("No"); 70 } 71 return 0; 72 }
4、1265 四点共面(计算几何)
题意：判断给出的4个点是否共面。
思路：转换判断空间三条直线是否在同一平面，如果方向向量的混合积等于0，则在同一平面。
1 #include<iostream> 2 using namespace std; 3 int nodes[4][3]; 4 int vec[3][3]; 5 int main() 6 { 7 int t; 8 scanf("%d", &t); 9 while (t--) 10 { 11 for (int i = 0; i < 4; i++) 12 { 13 for (int j = 0; j < 3; j++) scanf("%d", &nodes[i][j]); 14 } 15 for (int i = 1; i < 4; i++) 16 { 17 for (int j = 0; j < 3; j++) vec[i - 1][j] = nodes[i][j] - nodes[i - 1][j]; 18 } 19 int v = vec[0][0] * (vec[1][1] * vec[2][2] - vec[2][1] * vec[1][2]) - vec[0][1] * (vec[1][0] * vec[2][2] - vec[2][0] * vec[1][2]) + vec[0][2] * (vec[1][0] * vec[2][1] - vec[2][0] * vec[1][1]); 20 if (v == 0) printf("Yes "); 21 else printf("No "); 22 } 23 return 0; 24 }
5、1264 线段相交(计算几何)
题意：判断两条线段是否相交。
思路：看交点是否在两条线段上，注意k不存在的情况。
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<algorithm> 4 using namespace std; 5 int main() 6 { 7 int t; 8 int x1, x2, x3, x4, y1, y2, y3, y4; 9 double k1, k2, b1, b2; 10 scanf("%d", &t); 11 while (t--) 12 { 13 scanf("%d%d%d%d%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2, &x3, &y3, &x4, &y4); 14 bool flag = false; 15 if (x1 == x2) 16 { 17 if (x3 != x4) 18 { 19 k2 = 1.0*(y3 - y4) / (x3 - x4); 20 b2 = y3 - x3*k2; 21 double ymd = k2*x1 + b2; 22 if (x1 >= min(x3, x4) && x1 <= max(x3, x4) && ymd >= min(y1, y2) && ymd <= max(y1, y2)) flag = true; 23 } 24 } 25 else if (x3 == x4) 26 { 27 k1 = 1.0*(y1 - y2) / (x1 - x2); 28 b1 = y1 - x1*k1; 29 double ymd = k1*x3 + b1; 30 if (x3 >= min(x1, x2) && x3 <= max(x1, x2) && ymd >= min(y3, y4) && ymd <= max(y4, y3)) flag = true; 31 } 32 else 33 { 34 k2 = 1.0*(y3 - y4) / (x3 - x4); 35 b2 = y3 - x3*k2; 36 k1 = 1.0*(y1 - y2) / (x1 - x2); 37 b1 = y1 - x1*k1; 38 double xmd = 1.0*(b2 - b1) / (k1 - k2); 39 if (xmd >= min(x1, x2) && xmd <= max(x1, x2) && xmd >= min(x3, x4) && xmd <= max(x3, x4))flag = true; 40 } 41 if (flag)printf("Yes "); 42 else printf("No "); 43 } 44 45 return 0; 46 }
6、1256 乘法逆元(数论)
题意：求k，使得k*m=1(mod n),即k*m%n=1.
思路：乘法逆元，扩展欧几里得。
注：作用：
12 / 4 mod 7 = ? 结果是3
我们现在对于数对 (4,7), 可以知道 X = 2是 4 对7的乘法逆元即2*4=1（mod 7)
那么我们有(12 / 4) * (4 * 2 ) = (?) * (1) (mod 7)
除法被完美地转化为了乘法
1 #include<iostream> 2 using namespace std; 3 //返回d = gcd(a, b);x,y对应于等式ax + by = d中的x、y 4 long long extendGCD(long long a, long long b, long long &x, long long &y) 5 { 6 if (a == 0 && b == 0) return -1;//无最大公约数 7 if (b == 0) 8 { 9 x = 1; 10 y = 0; 11 return a; 12 } 13 long long d = extendGCD(b, a%b, y, x); 14 y -= a / b*x; 15 return d; 16 } 17 //求逆元 ax = 1(mod n) 18 long long modReverse(long long a, long long n) 19 {//要求a,n互质 20 long long x, y; 21 long long d = extendGCD(a, n, x, y); 22 if (d == 1) 23 { 24 return (x%n + n) % n;//防止为负 25 } 26 else return -1;//无逆元 27 } 28 int main() 29 { 30 long long m, n; 31 while (~scanf("%I64d%I64d", &m, &n)) 32 {//k*m%n=1=>k*m+x(-n)=1=>k*m=1(mod n)=>m关于模n的乘法逆元为k 33 printf("%I64d ", modReverse(m, n)); 34 } 35 36 return 0; 37 }
7、1240 莫比乌斯函数(数论)
题意：如果一个数包含平方因子，那么miu(n) = 0。例如：miu(4), miu(12), miu(18) = 0。
如果一个数不包含平方因子，并且有k个不同的质因子，那么miu(n) = (-1)^k。例如：miu(2), miu(3), miu(30) = -1,miu(1), miu(6), miu(10) = 1。
给出一个数n, 计算miu(n)。
思路：①直接求法。算出其因子。
1 #include <iostream> 2 #include <cstring> 3 4 using namespace std; 5 6 int n; 7 8 int MOD(int a, int b) 9 {//取余 10 return a - a / b * b; 11 } 12 13 int miu(int n) 14 { 15 int cnt, k = 0; 16 for (int i = 2; i * i <= n; i++) 17 { 18 if (MOD(n, i)) 19 { 20 continue; 21 } 22 cnt = 0; 23 k++; 24 while (MOD(n, i) == 0) 25 { 26 n /= i; 27 cnt++; 28 } 29 if (cnt >= 2) 30 {//存在平方数，值为0 31 return 0; 32 } 33 } 34 if (n != 1) 35 {//大质数 36 k++; 37 } 38 return MOD(k, 2) ? -1 : 1;//奇数个因子，-1；否则1 39 } 40 41 int main() 42 { 43 while (~scanf("%d",&n)) 44 { 45 printf("%d ",miu(n)); 46 } 47 return 0; 48 }
②筛法。
8、1242 斐波那契数列的第N项(矩阵快速幂)
题意：如题。
思路：斐波那契数列除了递推式F(n)=F(n-1)+F(n-2),还可以用矩阵乘法。
1 #include <cstdio> 2 #include <iostream> 3 #include <vector> 4 #include<cstring> 5 using namespace std; 6 const long long MOD = 1000000009; 7 long long n; 8 long long re[2][2]; 9 void mul(long long (*a)[2],long long (*b)[2]) //矩阵乘法 10 { 11 memset(re, 0, sizeof(re)); 12 for(long long i=0;i<2;i++) 13 { 14 for(long long k=0;k<2;k++) 15 { 16 for(long long j=0;j<2;j++) 17 re[i][j] = ( re[i][j] + a[i][k] * b[k][j] ) % MOD; 18 } 19 } 20 } 21 22 void solve_pow(long long(*a)[2],long long n) //快速幂 23 { 24 long long b[2][2] = {0}; 25 for(long long i=0;i<2;i++) 26 b[i][i]=1; 27 while(n>0) 28 { 29 if (n & 1) 30 { 31 mul(b, a); 32 memcpy(b, re, sizeof(re)); 33 } 34 mul(a,a); 35 memcpy(a, re, sizeof(re)); 36 n >>= 1; 37 } 38 memcpy(re, b, sizeof(b)); 39 } 40 41 void solve() 42 { 43 long long a[2][2]; 44 while(~scanf("%lld",&n) && n!=-1) 45 { 46 a[0][0]=1,a[0][1]=1; 47 a[1][0]=1,a[1][1]=0; 48 solve_pow(a,n); 49 printf("%lld ",re[1][0]); 50 } 51 } 52 int main() 53 { 54 solve(); 55 return 0; 56 }
9、1212 无向图最小生成树(图论)
思路：最小生成树。
①Kruskal
1 #include<iostream> 2 #include<vector> 3 #include<algorithm> 4 using namespace std; 5 const int maxn = 1010; 6 const int maxe = 50010; 7 int n, m; 8 struct edge 9 { 10 int from; 11 int to; 12 int w; 13 edge(int ff = 0, int tt = 0,int ww=0):from(ff),to(tt),w(ww){ } 14 friend bool operator <(const edge&a, const edge&b) 15 { 16 return a.w > b.w; 17 } 18 }; 19 vector<edge>minHeap; 20 int pre[maxn]; 21 int Find(int x) 22 { 23 int r = x; 24 while (r != pre[r]) 25 { 26 r = pre[r]; 27 } 28 int i = x, j; 29 while (i != r) 30 { 31 j = pre[i]; 32 pre[i] = r; 33 i = j; 34 } 35 return r; 36 } 37 bool Join(int x,int y) 38 { 39 int fx = Find(x), fy = Find(y); 40 if (fx != fy) 41 { 42 pre[fx] = fy; 43 return false; 44 } 45 return true; 46 } 47 int Kruskal() 48 { 49 for (int i = 0; i <= n; i++) pre[i] = i; 50 int sum = 0; 51 int cnt = 1; 52 while(cnt<n) 53 { 54 pop_heap(minHeap.begin(), minHeap.end()); 55 edge tmp = minHeap.back(); 56 minHeap.pop_back(); 57 if (!Join(tmp.from, tmp.to)) 58 { 59 sum += tmp.w; 60 cnt++; 61 } 62 } 63 return sum; 64 } 65 int Solve() 66 { 67 minHeap.clear(); 68 for (int i = 1; i <= m; i++) 69 { 70 int u, v, w; 71 scanf("%d%d%d", &u, &v, &w); 72 minHeap.push_back(edge(u, v, w)); 73 } 74 make_heap(minHeap.begin(), minHeap.end()); 75 return Kruskal(); 76 } 77 int main() 78 { 79 while (~scanf("%d%d", &n, &m)) 80 { 81 printf("%d ", Solve()); 82 } 83 return 0; 84 }
②Kruskal2
1 #include<iostream> 2 #include<vector> 3 #include<algorithm> 4 #include<cstring> 5 #include<cstdio> 6 using namespace std; 7 const int maxn = 1010; 8 const int maxe = 50010; 9 int n, m; 10 struct edge 11 { 12 int from; 13 int to; 14 int w; 15 edge(int ff=0,int tt=0,int ww=0):from(ff),to(tt),w(ww){ } 16 friend bool operator<(const edge&a, const edge&b) 17 { 18 return a.w < b.w; 19 } 20 }; 21 vector<edge>minheap; 22 bool vis[maxn]; 23 int pre[maxn]; 24 int Find(int x) 25 { 26 int r = x; 27 while (r != pre[r]) 28 { 29 r = pre[r]; 30 } 31 int i = x, j; 32 while (i != r) 33 { 34 j = pre[i]; 35 pre[i] = r; 36 i = j; 37 } 38 return r; 39 } 40 bool Join(int x, int y) 41 { 42 int fx = Find(x), fy = Find(y); 43 if (fx != fy) 44 { 45 pre[fx] = fy; 46 return false; 47 } 48 return true; 49 } 50 int Kruskal() 51 { 52 for (int i = 0; i <= n; i++) pre[i] = i; 53 sort(minheap.begin(), minheap.end()); 54 int cnt = 1; 55 int sum = 0; 56 int i = 0; 57 while (cnt < n) 58 { 59 while (Join(minheap[i].from,minheap[i].to)) i++; 60 sum += minheap[i].w; 61 cnt++; 62 } 63 return sum; 64 } 65 int Solve() 66 { 67 minheap.clear(); 68 for (int i = 1; i <= m; i++) 69 { 70 int u, v, w; 71 scanf("%d%d%d", &u, &v, &w); 72 minheap.push_back(edge(u, v, w)); 73 } 74 return Kruskal(); 75 } 76 int main() 77 { 78 while(~scanf("%d%d", &n, &m)) 79 { 80 printf("%d ", Solve()); 81 } 82 return 0; 83 }
②Prime
1 #include<iostream> 2 #include<vector> 3 #include<algorithm> 4 #include<cstring> 5 #include<cstdio> 6 using namespace std; 7 const int maxn = 1010; 8 const int maxe = 50010; 9 int n, m; 10 struct edge 11 { 12 int to; 13 int w; 14 edge(int tt=0,int ww=0):to(tt),w(ww){ } 15 friend bool operator<(const edge&a, const edge&b) 16 { 17 return a.w > b.w; 18 } 19 }; 20 vector<edge>mp[maxn]; 21 vector<edge>minheap; 22 bool vis[maxn]; 23 int Prime() 24 { 25 memset(vis, 0, sizeof(vis)); 26 minheap.clear(); 27 vis[1] = true; 28 int sz = mp[1].size(); 29 for (int i = 0; i <sz; i++) 30 { 31 minheap.push_back(mp[1][i]); 32 } 33 int cnt = 1; 34 edge tmp; 35 int sum = 0; 36 while (cnt < n) 37 { 38 make_heap(minheap.begin(), minheap.end()); 39 do 40 { 41 pop_heap(minheap.begin(), minheap.end()); 42 tmp = minheap.back(); 43 minheap.pop_back(); 44 }while (vis[tmp.to]); 45 sum += tmp.w; 46 vis[tmp.to] = true; 47 cnt++; 48 int u = tmp.to; 49 sz = mp[u].size(); 50 for (int i = 0; i < sz; i++) 51 { 52 tmp = mp[u][i]; 53 if (!vis[tmp.to]) 54 { 55 minheap.push_back(tmp); 56 } 57 } 58 } 59 return sum; 60 } 61 int Solve() 62 { 63 for (int i = 0; i <= n; i++) mp[i].clear(); 64 for (int i = 1; i <= m; i++) 65 { 66 int u, v, w; 67 scanf("%d%d%d", &u, &v, &w); 68 mp[u].push_back(edge(v, w)); 69 mp[v].push_back(edge(u, w)); 70 } 71 return Prime(); 72 } 73 int main() 74 { 75 while(~scanf("%d%d", &n, &m)) 76 { 77 printf("%d ", Solve()); 78 } 79 return 0; 80 }
10、1183 编辑距离 字符串相似度算法（编辑距离算法 Levenshtein Distance）
思路：
- if i == 0 且 j == 0，edit(i, j) = 0
- if i == 0 且 j > 0，edit(i, j) = j
- if i > 0 且j == 0，edit(i, j) = i
- if i ≥ 1 且 j ≥ 1 ，edit(i, j) == min{ edit(i-1, j) + 1, edit(i, j-1) + 1, edit(i-1, j-1) + f(i, j) }，当第一个字符串的第i个字符不等于第二个字符串的第j个字符时，f(i, j) = 1；否则，f(i, j) = 0。
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<algorithm> 4 using namespace std; 5 const int maxn = 1005; 6 char s1[maxn]; 7 char s2[maxn]; 8 int dp[maxn][maxn]; 9 int main() 10 { 11 while (~scanf("%s%s", s1+1, s2+1)) 12 { 13 14 int ln = strlen(s1+1); 15 int lm = strlen(s2 + 1); 16 for (int i = 0; i <= lm; i++) dp[0][i] = i; 17 for (int i = 0; i <= lm; i++) dp[i][0] = i; 18 for (int i = 1; i <= ln; i++) 19 { 20 for (int j = 1; j <= lm; j++) 21 { 22 int t = (s1[i] == s2[j] ? 0 : 1); 23 dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1, min(dp[i][j - 1] + 1, dp[i - 1][j - 1]+t)); 24 } 25 } 26 printf("%d ", dp[ln][lm]); 27 } 28 return 0; 29 }
11、1181 质数中的质数（质数筛法）
题意：求≥n的数的最小的编号也为质数(编号从1开始)的质数。
思路：线性素数筛。
1 #include<iostream> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 5 using namespace std; 6 7 const int maxn = 1000100; 8 bool isp[maxn]; 9 int prime[maxn], cnt; 10 void makePrime() 11 { 12 memset(isp, true, sizeof(isp)); 13 isp[0] = isp[1] = false; 14 cnt = 0; 15 for (int i = 2; i < maxn; ++i) 16 { 17 if (isp[i])//是素数 18 { 19 prime[cnt++] = i;//保存该素数 20 } 21 for (int j = 0; j < cnt && i * prime[j] < maxn; ++j) 22 { 23 isp[i * prime[j]] = false;//当前的数乘以所有已算出的素数都不是素数 24 if (i % prime[j] == 0)//如果i能被某一个最小的素数整除，则退出 25 { 26 break; 27 } 28 } 29 } 30 } 31 int main() 32 { 33 makePrime(); 34 int n; 35 while (~scanf("%d", &n)) 36 { 37 int pos = lower_bound(prime, prime + cnt, n) - prime; 38 while (!isp[pos + 1]) pos++; 39 printf("%d ", prime[pos]); 40 } 41 return 0; 42 }
12、中国剩余定理
题意：一个正整数K，给出K Mod 一些质数的结果，求符合条件的最小的K。
思路：中国剩余定理。
1 #include<cstring> 2 #include<iostream> 3 #include<cstdio> 4 #define MAXN 20 5 #define ll long long 6 using namespace std; 7 8 ll m[MAXN], p[MAXN]; 9 int n; 10 //a*x=1(mod b) 11 void exgcd(ll a, ll b, ll& x, ll& y) 12 { //exgcd求乘法取模运算的逆元 13 if (!b) 14 { 15 y = 0, x = 1; 16 return; 17 } 18 else 19 { 20 exgcd(b, a%b, x, y); 21 ll temp = x; 22 x = y; 23 y = temp - a / b*y; 24 } 25 } 26 27 ll crt() 28 { 29 ll P = 1, ans = 0; 30 for (int i = 0; i<n; i++) 31 { 32 P *= p[i]; 33 } 34 for (int i = 0; i<n; i++) 35 { 36 ll mi = P / p[i], x, y; 37 exgcd(mi, p[i], x, y); 38 ans = (ans + m[i] * x*mi) % P; 39 } 40 if (ans<0) 41 { 42 ans += P; 43 } 44 return ans; 45 } 46 47 int main() 48 { 49 scanf("%d", &n); 50 for (int i = 0; i<n; i++) 51 { 52 scanf("%lld%lld", &p[i], &m[i]); 53 } 54 printf("%lld ", crt()); 55 return 0; 56 }
13、1174 区间中最大的数(RMQ)
题意：求指定区间内的最大值，
思路：RMQ.
1 //例如数列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7，F[1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。 F[1，2]=5，F[1，3]=8，F[2，0]=2，F[2，1]=4……从这里可以看出F[i,0]其实就等于A[i]。这样，DP的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。 2 //我们把F[i，j]平均分成两段（因为f[i，j]一定是偶数个数字），从i到i+2^(j-1)-1为一段，i+2^(j-1)到i+2^j-1为一段(长度都为2^（j-1）)。 3 //用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。F[i，j]就是这两段的最大值中的最大值。于是我们得到了动态规划方程F[i, j]=max（F[i，j-1], F[i + 2^(j-1)，j-1]）。 4 //然后是查询，由于给出的区间不一定是2的次幂，所以需要取一个最小幂覆盖区间。取k=[log2(j-i+1)]，向上取整，则有：RMQ(A, i, j)=min{F[i,k],F[j-2^k+1,k]}，即将区间分为[i,i+(2^k)-1] [j-(2^k)+1,j]，容易证明这两个区间是有重合地方的。 5 //举例说明，要求区间[2，8]的最大值，就要把它分成[2,5]和[5,8]两个区间，因为这两个区间的最大值我们可以直接由f[2，2]和f[5，2]得到。 6 #include<iostream> 7 #include<memory.h> 8 #include<cstdio> 9 #include<cmath> 10 #include<algorithm> 11 using namespace std; 12 const int maxn = 10005; 13 int Fmax[maxn][20], Fmin[maxn][20]; 14 //[i][j]表示[i,2^j-1]区间内的最值 15 int n, q; 16 void RMQ() 17 { 18 for (int i = 1; i <= n; i++) 19 { 20 int num; 21 scanf("%d", &num); 22 Fmin[i][0] = Fmax[i][0] = num; 23 } 24 for (int j = 1; j < 20; j++) 25 { 26 for (int i = 1; i <= n; i++) 27 { 28 if (i + (1 << j) - 1 <= n) 29 { 30 Fmax[i][j] = max(Fmax[i][j - 1], Fmax[i + (1 << (j - 1))][j - 1]); 31 Fmin[i][j] = min(Fmin[i][j - 1], Fmin[i + (1 << (j - 1))][j - 1]); 32 } 33 } 34 } 35 } 36 int main() 37 { 38 while (~scanf("%d", &n)) 39 { 40 memset(Fmax, 0, sizeof(Fmax)); 41 memset(Fmin, 0, sizeof(Fmin)); 42 RMQ(); 43 scanf("%d", &q); 44 for (int i = 0; i < q; i++) 45 { 46 int l, r; 47 scanf("%d%d", &l, &r); 48 l++, r++; 49 int k = 0; 50 while ((1 << (k + 1)) <= r - l + 1) k++; 51 //int k = ceil(log(1.0+r - l) / log(2.0)); 52 int maxnum = max(Fmax[l][k], Fmax[r - (1 << k) + 1][k]); 53 int minnum = min(Fmin[l][k], Fmin[r - (1 << k) + 1][k]); 54 printf("%d ", maxnum); 55 } 56 } 57 return 0; 58 }
14、1136 欧拉函数
题意：对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。
思路：欧拉函数模板。
①直接求法。
1 //#include<bits/stdc++.h> 2 #include<iostream> 3 using namespace std; 4 //Euler函数表达通式：euler(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…(1-1/pn),其中p1,p2……pn为x的所有素因数，x是不为0的整数。euler(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。 5 //欧拉公式的延伸：一个数的所有质因子之和是euler(n)*n / 2。 6 int euler(int n) 7 { 8 int res = n, i; 9 for (i = 2; i*i <= n; i++) 10 { 11 if (n%i == 0) 12 { 13 res = res / i*(i - 1); 14 while (n%i == 0) n = n / i; 15 } 16 } 17 if (n != 1) res = res / n*(n - 1); 18 return res; 19 } 20 int main() 21 { 22 int n; 23 cin >> n; 24 cout << euler(n) << endl; 25 return 0; 26 }
补充：欧拉函数线性筛。
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #define N 40000 4 using namespace std; 5 int n; 6 int phi[N+10],prime[N+10],tot,ans; 7 bool mark[N+10]; 8 void getphi() 9 { 10 int i,j; 11 phi[1]=1; 12 for(i=2;i<=N;i++)//相当于分解质因式的逆过程 13 { 14 if(!mark[i]) 15 { 16 prime[++tot]=i;//筛素数的时候首先会判断i是否是素数。 17 phi[i]=i-1;//当 i 是素数时 phi[i]=i-1 18 } 19 for(j=1;j<=tot;j++) 20 { 21 if(i*prime[j]>N) break; 22 mark[i*prime[j]]=1;//确定i*prime[j]不是素数 23 if(i%prime[j]==0)//接着我们会看prime[j]是否是i的约数 24 { 25 phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break; 26 } 27 else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);//其实这里prime[j]-1就是phi[prime[j]]，利用了欧拉函数的积性 28 } 29 } 30 } 31 int main() 32 { 33 getphi(); 34 }
15、1137 矩阵乘法
题意：两个n*n的矩阵相乘。
思路：模拟矩阵乘法。
1 #include<iostream> 2 using namespace std; 3 int a[110][110], b[110][110]; 4 int re[110][110]; 5 int main() 6 { 7 int n; 8 while (~scanf("%d", &n)) 9 { 10 for (int i = 1; i <=n; i++) 11 { 12 for (int j = 1; j <= n; j++) scanf("%d", &a[i][j]); 13 } 14 for (int i = 1; i <= n; i++) 15 { 16 for (int j = 1; j <= n; j++) scanf("%d", &b[i][j]); 17 } 18 for (int i = 1; i <= n; i++) 19 { 20 for (int j = 1; j <= n; j++) 21 { 22 re[i][j] = 0; 23 for (int k = 1; k <= n; k++) 24 { 25 re[i][j] += a[i][k] * b[k][j]; 26 } 27 } 28 } 29 for (int i = 1; i <= n; i++) 30 { 31 for (int j = 1; j <= n; j++) 32 { 33 if (j > 1) printf(" "); 34 printf("%d", re[i][j]); 35 } 36 printf(" "); 37 } 38 } 39 return 0; 40 }
16、1135 原根
题意：设m是正整数，a是整数，若a模m的阶等于φ(m)，则称a为模m的一个原根。（其中φ(m)表示m的欧拉函数）给出1个质数P，找出P最小的原根。
思路：1.原根定义：设m>1,gcd(a,m)=1,使得a^r≡1(mod m)成立的最小的r，称为a对模m的阶。
2.定理：如果模m有原根，那么他一共有φ(φ(m))个原根。
3.定理：如果p为素数，那么素数p一定存在原根，并且模p的原根的个数为φ(p-1)个。
4.定理：假设m是正整数，a是整数，如果a模m的阶等于φ(m)，则称a为模m的一个原根。
5.模m有原根的充要条件：m=2,4,P^a,2*P^a……
求模素数P的原根的方法：对P-1素因子分解，即P-1=(P1^a1)(P2^a2)…..(Pk^ak)。，若恒有g^((P-1)/Pi)≠1(mod P)成立，那么g就是P的原根(对于合数而言,只需要把P-1换成φ(P)即可)
1 #include <stdio.h> 2 #include <math.h> 3 #include <string.h> 4 #include <iostream> 5 #include <algorithm> 6 using namespace std; 7 typedef long long LL; 8 const int maxn = 1e6 + 10; 9 int prime[maxn];//存储素数 10 int sprime[maxn];//存储P-1的素因子 11 bool isp[maxn];//结果只有0和1，判断是否为素数 12 int k;//记录Maxn以内的素数个数 13 int cnt;//记录素因子的个数 14 void is_prime() 15 { 16 memset(isp,true,sizeof(isp));//将所有的二进制数都标为1 17 for (int i = 2; i<maxn; i++) 18 { 19 if (isp[i]) 20 { 21 prime[k++] = i; 22 for (int j = i + i; j<maxn; j += i) 23 isp[j] = false; 24 } 25 } 26 } 27 void Divide(int n)//将n分解为素因子 28 { 29 cnt = 0; 30 int t = (int)sqrt(1.0*n); 31 for (int i = 0; prime[i] <= t; i++) 32 { 33 if (n%prime[i] == 0) 34 { 35 sprime[cnt++] = prime[i]; 36 while (n%prime[i] == 0)//因为有可能有多个peime[i] 37 n /= prime[i]; 38 } 39 } 40 if (n>1) 41 sprime[cnt++] = n;//可能只有自己一个素因子 42 } 43 //求a^b%mod 44 LL modexp(LL a, LL b, int mod)//快速幂取模 45 { 46 LL res = 1; 47 while (b>0) 48 { 49 a = a%mod; 50 if (b & 1) 51 res = res*a%mod; 52 b = b >> 1; 53 a = a*a%mod; 54 } 55 return res; 56 } 57 58 int main() 59 { 60 int p; 61 is_prime(); 62 while (~scanf("%d", &p)) 63 { 64 Divide(p - 1); 65 for (int g = 2; g<p; g++) 66 { 67 int flag = 1; 68 for (int i = 0; i<cnt; i++) 69 { 70 int t = (p - 1) / sprime[i]; 71 if (modexp(g, t, p) == 1) 72 { 73 flag = 0; 74 break; 75 } 76 } 77 if (flag) 78 { 79 int root = g; 80 printf("%d ", root); 81 break;//去掉break的话是求所有的原根，加上break是求最小的原根、 82 } 83 } 84 } 85 return 0; 86 }
17、1072 威佐夫游戏
题意：有2堆石子。A B两个人轮流拿，A先拿。每次可以从一堆中取任意个或从2堆中取相同数量的石子，但不可不取。拿到最后1颗石子的人获胜。假设A B都非常聪明，拿石子的过程中不会出现失误。给出2堆石子的数量，问最后谁能赢得比赛。 例如：2堆石子分别为3颗和5颗。那么不论A怎样拿，B都有对应的方法拿到最后1颗。
思路：http://blog.csdn.net/leibniz_zhang/article/details/52221542
http://blog.csdn.net/theprinceofelf/article/details/7225206
http://blog.csdn.net/h1021456873/article/details/49748659
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 using namespace std; 5 int spc[4002000]; 6 bool vis[4002000]; 7 int main() 8 { 9 int k = 1; 10 memset(spc, 0, sizeof(spc)); 11 memset(vis, true, sizeof(vis)); 12 for (int i = 1; i <= 2000000; i++) 13 {//当一个人面对局势(0,0),(1,2),(3,5),(4,7),(6,10)...必败，而非此规律的局势可以通过一步便达到这种局势 14 //特点：(x,y)x为前面未出现的最小值;该局势为第(y-x+1)个 15 if (vis[i]) 16 { 17 spc[i] = i + k; 18 vis[spc[i]] = false; 19 k++; 20 } 21 } 22 int t; 23 scanf("%d", &t); 24 int a, b; 25 while (t--) 26 { 27 scanf("%d%d", &a, &b); 28 if (a>b) 29 swap(a, b); 30 if (spc[a] == b) 31 printf("B "); 32 else 33 printf("A "); 34 } 35 return 0; 36 }
18、1185 威佐夫游戏 V2
题意：同上一题。
思路：由于数很大，不再递推求，直接用黄金分割求，做乘法模拟。
1 #include<cstdio> 2 #include<cmath> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 using namespace std; 6 #define LL long long 7 LL a, b, c, qian, hou, pp, mod = 1000000000; 8 LL gold[3] = { 618033988,749894848,204586834 }; //将 0.618033988749894848204586834... 拆成整数放进数组里 9 //ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k （k=0，1，2，...n 方括号表示取整函数) 10 int main() 11 { 12 int t; scanf("%d", &t); 13 while (t--) 14 { 15 scanf("%lld%lld", &a, &b); 16 if (a>b) 17 swap(a, b); 18 c = b - a; 19 qian = c / mod; hou = c%mod; //把10 ^ 18分成两部分10 ^ 9 20 LL lll = hou*gold[2];//乘法模拟 21 lll = qian*gold[2] + hou*gold[1] + lll / mod; 22 lll = qian*gold[1] + hou*gold[0] + lll / mod; 23 lll = c + qian*gold[0] + lll / mod; 24 if (a == lll) 25 printf("B "); 26 else 27 printf("A "); 28 } 29 return 0; 30 }