【AtCoder】AGC028 (A-E)题解

A - Two Abbreviations

如果有最小答案的话这个答案一定是N和M的lcm
我们考虑一下什么情况下
(k frac{L}{N} = h frac{L}{M})且(k,g)互质
显然是在(k = frac{N}{gcd(N,M)},h = frac{M}{gcd(N,M)})的时候成立

我们只要不断枚举(k * i,h * i)判断两个串里这个位置的数是否相同即可

代码

    #include <bits/stdc++.h>
    #define fi first
    #define se second
    #define pii pair<int,int>
    #define mp make_pair
    #define pb push_back
    #define enter putchar('
')
    #define space putchar(' ')
    //#define ivorysi
    #define MAXN 100005
    typedef long long int64;
    using namespace std;
    template<class T>
    void read(T &res) {
    	res = 0;char c = getchar();T f = 1;
    	while(c < '0' || c > '9') {
    		if(c == '-') f = -1;
    		c = getchar();
    	}
    	while(c >= '0' && c <= '9') {
    		res = res * 10 + c - '0';
    		c = getchar();
    	}
    	res *= f;
    }
    template<class T>
    void out(T x) {
    	if(x < 0) {x = -x;putchar('-');}
    	if(x >= 10) {
    		out(x / 10);
    	}
    	putchar('0' + x % 10);
    }
    int64 N,M;
    char S[MAXN],T[MAXN];
    int64 gcd(int64 a,int64 b) {
    	return b == 0 ? a : gcd(b,a % b);
    }
    int64 lcm(int64 a,int64 b) {
    	return a * b / gcd(a,b);
    }
    void Solve() {
        read(N);read(M);
    	scanf("%s",S + 1);scanf("%s",T + 1);
    	int64 c = lcm(N,M);
    	int64 a = c / M,b = c / N;
    	for(int i = 0 ; i <= N ; ++i) {
    		if(i * a + 1 > N || i * b + 1 > M) break;
    		if(S[i * a + 1] != T[i * b + 1]) {puts("-1");return;}
    	}
    	out(c);enter;
    }
    int main() {
    #ifdef ivorysi
    	freopen("f1.in","r",stdin);
    #endif
    	Solve();
    	return 0;
    }

B - Removing Blocks

我计数计的挺麻烦的

我是对于每一段统计一下这一段会被哪些序列统计到

显然对于长度为K的一个段，除掉最靠前的一段和最靠后的一段，中间的每个段，如果这一段被取了，那么这个操作序列必定包含一个子序列，就是这一段两侧被提前取了，中间是K个数的任意排列

然后我们对于每个长度特殊处理最前一段和最后一段（因为他们的端点只有一个），对于中间的序列计算排列个数，而中间序列的代价总和可以通过前缀和的前缀和快速算出来

代码

    #include <bits/stdc++.h>
    #define fi first
    #define se second
    #define pii pair<int,int>
    #define mp make_pair
    #define pb push_back
    #define enter putchar('
')
    #define space putchar(' ')
    //#define ivorysi
    #define MAXN 100005
    typedef long long int64;
    using namespace std;
    template<class T>
    void read(T &res) {
    	res = 0;char c = getchar();T f = 1;
    	while(c < '0' || c > '9') {
    		if(c == '-') f = -1;
    		c = getchar();
    	}
    	while(c >= '0' && c <= '9') {
    		res = res * 10 + c - '0';
    		c = getchar();
    	}
    	res *= f;
    }
    template<class T>
    void out(T x) {
    	if(x < 0) {x = -x;putchar('-');}
    	if(x >= 10) {
    		out(x / 10);
    	}
    	putchar('0' + x % 10);
    }
    const int MOD = 1000000007;
    int N,A[MAXN],fac[MAXN],invfac[MAXN],inv[MAXN],sum[MAXN],sum_of_sum[MAXN];
    int inc(int a,int b) {
    	return a + b >= MOD ? a + b - MOD : a + b;
    }
    int mul(int a,int b) {
    	return 1LL * a * b % MOD;
    }
    void update(int &x,int y) {
    	x = inc(x,y);
    }
    int C(int n,int m) {
    	if(n < m) return 0;
    	return mul(fac[n],mul(invfac[m],invfac[n - m]));
    }
    void Solve() {
        read(N);
    	for(int i = 1 ; i <= N ; ++i) {
    		read(A[i]);
    		sum[i] = inc(sum[i - 1],A[i]);
    		sum_of_sum[i] = inc(sum_of_sum[i - 1],sum[i]);
    	}
    	inv[1] = 1;
    	for(int i = 2 ; i <= N ; ++i) {
    		inv[i] = mul(inv[MOD % i],MOD - MOD / i);
    	}
    	fac[0] = invfac[0] = 1;
    	for(int i = 1 ; i <= N ; ++i) {
    		fac[i] = mul(fac[i - 1],i);
    		invfac[i] = mul(invfac[i - 1],inv[i]);
    	}
    	int ans = 0;
    	for(int i = 1 ; i <= N ; ++i) {
    		if(i == N) update(ans,mul(sum[N],fac[N]));
    		else {
    			update(ans,mul(inc(sum[i],inc(sum[N],MOD - sum[N - i])),mul(mul(fac[i],C(N,i + 1)),fac[N - i - 1])));
    			if(i < N - 1) {
    				int t = inc(sum_of_sum[N - 1],MOD - sum_of_sum[i]);
    				update(t,MOD - sum_of_sum[N - i - 1]);
    				update(ans,mul(t,mul(mul(mul(2,fac[i]),C(N,i + 2)),fac[N - i - 2])));
    			}
    		}
    	}
    	out(ans);enter;
    }
    int main() {
    #ifdef ivorysi
    	freopen("f1.in","r",stdin);
    #endif
    	Solve();
    	return 0;
    }

C - Min Cost Cycle

显然如果最优的话，答案至少为这2×N个数里前N小的数的和
我们把所有前N小的数标出来，称为1，后N个数称为0
那么一个点有4种情况 01 10 00 11
后两种个数相同

如果我们有00（我们一定会有相同个数的11）的话，那么一定可行，为什么，因为我们把01首尾相接成一个01，把10首尾相接成一个10，然后01 00 10 11就可以了

如果我们只有10或只有01，也一定可行

唯一取不到这个解的是有10，并且有01，而且不存在00
那么这个时候我们枚举两个1相撞时1的值（如果这个1和另一个1相撞的时候它不是最小值也没关系，最后会被更新掉），同时计算一下两个0相撞时0能取到的最大值，可以用一个set维护，因为我们需要删掉枚举的1所带的那个0，除了它所在的类型只有1个的情况

代码

    #include <bits/stdc++.h>
    #define fi first
    #define se second
    #define pii pair<int,int>
    #define mp make_pair
    #define pb push_back
    #define enter putchar('
')
    #define space putchar(' ')
    //#define ivorysi
    #define MAXN 100005
    typedef long long int64;
    using namespace std;
    template<class T>
    void read(T &res) {
    	res = 0;char c = getchar();T f = 1;
    	while(c < '0' || c > '9') {
    		if(c == '-') f = -1;
    		c = getchar();
    	}
    	while(c >= '0' && c <= '9') {
    		res = res * 10 + c - '0';
    		c = getchar();
    	}
    	res *= f;
    }
    template<class T>
    void out(T x) {
    	if(x < 0) {x = -x;putchar('-');}
    	if(x >= 10) {
    		out(x / 10);
    	}
    	putchar('0' + x % 10);
    }
     
    int N;
    int64 p[MAXN][2],sum,ans,t3;
    int L[MAXN],R[MAXN],tot,ty[MAXN],cnt[10];
    pii pos[MAXN * 2];
    multiset<int64> S;
    bool cmp(pii a,pii b) {
    	return p[a.fi][a.se] < p[b.fi][b.se];
    }
    void Solve() {
        read(N);
    	for(int i = 1 ; i <= N ; ++i) {
    		read(p[i][1]);read(p[i][0]);
    		ans += p[i][1] + p[i][0];
    		pos[++tot] = mp(i,0);
    		pos[++tot] = mp(i,1);
    	}
    	sort(pos + 1,pos + tot + 1,cmp);
    	for(int i = 1 ; i <= tot / 2 ; ++i) {
    		sum += p[pos[i].fi][pos[i].se];
    		if(!pos[i].se) L[pos[i].fi] = 1;
    		else R[pos[i].fi] = 1;
    		S.insert(p[pos[i].fi][pos[i].se]);
    	}
    	for(int i = 1 ; i <= N ; ++i) {
    		if(L[i] && !R[i]) {ty[i] = 1;cnt[1]++;}
    		if(!L[i] && R[i]) {ty[i] = 2;cnt[2]++;}
    		if(!L[i] && !R[i]) {ty[i] = 3;cnt[3]++;}
    		if(L[i] && R[i]) {ty[i] = 4;cnt[4]++;}
    	}
    	if(!cnt[1] || !cnt[2] || cnt[3]) {out(sum);enter;return;}
    	for(int i = tot / 2 + 1 ; i <= tot ; ++i) {
    		int u = pos[i].fi;
    		if(cnt[ty[u]] != 1) {
    			S.erase(S.find(p[u][pos[i].se ^ 1]));
    			ans = min(ans,sum + p[pos[i].fi][pos[i].se] - *(--S.end()));
    			S.insert(p[u][pos[i].se ^ 1]);
    		}
    		else ans = min(ans,sum + p[pos[i].fi][pos[i].se] - *(--S.end()));
    	}
    	out(ans);enter;
    }
    int main() {
    #ifdef ivorysi
    	freopen("f1.in","r",stdin);
    #endif
    	Solve();
    	return 0;
    }

D - Chords

这题看起来很繁琐，但是实际上逻辑很简单

(dp[i][j])表示一个联通块标记为(i)为最小的标号，(j)为最大的标号，这样的方案有多少个

首先要满足初始的时候(i,j)之间的点没有连到外部的点

然后计算方案是(g(x))
x是(i,j)之间没有匹配的点的个数，(g(x) = 1*3*5...(x - 3)(x - 1))

然后再减掉不合法的方案

(dp[i][j] -= dp[i][k] * g(z))z是(k + 1,j)中没有匹配过的点

最后输出的时候还要乘上一个(g(y))y表示所有除了(i,j)之外未匹配的点

代码

    #include <iostream>
    #include <cstring>
    #include <cstdio>
    #include <algorithm>
    #define enter putchar('
')
    #define space putchar(' ')
    #define fi first
    #define se second
    #define mp make_pair
    #define MAXN 200005
    //#define ivorysi
    #define pii pair<int,int>
    using namespace std;
    typedef long long int64;
    template<class T>
    void read(T &res) {
        res = 0;char c = getchar();T f = 1;
        while(c < '0' || c > '9') {
    	if(c == '-') f = -1;
    	c = getchar();
        }
        while(c >= '0' && c <= '9') {
    	res = res * 10 + c - '0';
    	c = getchar();
        }
        res *= f;
    }
     
    template<class T>
    void out(T x) {
        if(x < 0) {putchar('-');x = -x;}
        if(x >= 10) out(x / 10);
        putchar('0' + x % 10);
    }
    const int MOD = 1000000007;
    int N,K;
    int A[305],B[305];
    int cnt[605][605],dp[605][605],g[605];
    bool vis[605][605];
    bool in(int a,int l,int r) {
        return a >= l && a <= r;
    }
    int inc(int a,int b) {
        return a + b >= MOD ? a + b - MOD : a + b;
    }
    int mul(int a,int b) {
        return 1LL * a * b % MOD;
    }
    void Solve() {
        read(N);read(K);
        for(int i = 1 ; i <= K ; ++i) {
    	read(A[i]);read(B[i]);
        }
        g[0] = 1;
        for(int i = 1 ; i <= 2 * N ; ++i) {
    	if(i & 1) g[i] = 0;
    	else g[i] = mul(g[i - 2],i - 1);
        }
        for(int i = 1 ; i <= 2 * N ; ++i) {
    	for(int j = i + 1 ; j <= 2 * N ; ++j) {
    	    for(int h = 1 ; h <= K ; ++h) {
    		if(in(A[h],i,j) && in(B[h],i,j)) {
    		    ++cnt[i][j];
    		}
    		else if((!in(A[h],i,j) && in(B[h],i,j)) || (in(A[h],i,j) && !in(B[h],i,j))) {
    		    vis[i][j] = 1;
    		    break;
    		}
    	    }
    	}
        }
        for(int d = 2 ; d <= 2 * N ; d += 2) {
    	for(int i = 1 ; i <= 2 * N ; ++i) {
    	    int j = i + d - 1;
    	    if(j > 2 * N) break;
    	    if(vis[i][j]) continue;
    	    int x = j - i + 1 - 2 * cnt[i][j];
    	    dp[i][j] = g[x];
    	    for(int h = i + 1 ; h < j ; h += 2) {
    		if(!dp[i][h]) continue;
    		x = j - h - 2 * cnt[h + 1][j]; 
    		dp[i][j] = inc(dp[i][j],MOD - mul(dp[i][h],g[x]));
    	    }
    	}
        }
        int ans = 0;
        for(int i = 1 ; i <= 2 * N ; ++i) {
    	for(int j = i + 1 ; j <= 2 * N ; j += 2) {
    	    int y = 2 * N - (j - i + 1 - 2 * cnt[i][j]) - 2 * K; 
    	    ans = inc(ans,mul(dp[i][j],g[y]));
    	}
        }
        out(ans);enter;
    }
     
    int main() {
    #ifdef ivorysi
        freopen("f1.in","r",stdin);
    #endif
        Solve();
    }

E - High Elements

我们需要已知部分(X)和(Y)的情况下，知道后面的数能不能使得最终情况合法

我们设(X)高元素的个数为(C_x)，(Y)高元素个数为(C_y)

我们还需要两个高元素序列(a,b)满足(C_x + |a| = C_y + |b|)

我们可以保证(a,b)至少有一个，其中所有的高元素都是p原来的高元素，证明这个，我们只要找到两个合法的序列，然后每次减少两个序列中高元素，直到不能减了

这样的话我们设(a)全是P原来的高元素组成的序列

然后我们决定一下(b)，(b)确定了(a)就自动是未选的所有高元素了

设(b)中的高元素有(k)个是P中的高元素，(m)是非高元素，剩下的序列中有Q个是高元素

那么我们满足
(C_x + Q - k = C_y + |b|)
(C_x + Q - k = C_y + k + m)
(2k + m = C_x - C_y + Q)

也就是我们设所有高元素长度为2，非高元素长度为1，求一个上升子序列，看看长度是否正好为一个常数

我们只需要分奇偶性找一个最长的升子序列，和这个常数比较一下就行
需要用线段树维护dp状态

#include <bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define pii pair<int,int>
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define MAXN 200005
//#define ivorysi
#define space putchar(' ')
#define enter putchar('
')
using namespace std;
typedef long long int64;
template<class T>
void read(T &res) {
    res = 0;char c = getchar();T f = 1;
    while(c < '0' || c > '9') {
	if(c == '-') f = -1;
	c = getchar();
    }
    while(c >= '0' && c <= '9') {
	res = res * 10 + c - '0';
	c = getchar();
    }
    res *= f;
}
template<class T>
void out(T x) {
    if(x < 0) {x = -x;}
    if(x >= 10) {
	out(x / 10);
    }
    putchar('0' + x % 10);
}
int N,P[MAXN],val[MAXN],ans[MAXN],curx,cury;
struct node {
    int maxv,L,R,lc,rc;
}tr[MAXN * 20];
int rt[2],Ncnt;
void build(int &u,int L,int R,int v) {
    u = ++Ncnt;
    tr[u].L = L;tr[u].R = R;
    tr[u].maxv = v;
    if(L == R) return;
    int mid = (L + R) >> 1;
    build(tr[u].lc,L,mid,v);
    build(tr[u].rc,mid + 1,R,v);
}
void Change(int u,int pos,int v) {
    if(tr[u].L == tr[u].R) {tr[u].maxv = v;return;}
    int mid = (tr[u].L + tr[u].R) >> 1;
    if(pos <= mid) Change(tr[u].lc,pos,v);
    else Change(tr[u].rc,pos,v);
    tr[u].maxv = max(tr[tr[u].lc].maxv,tr[tr[u].rc].maxv);
}
int Query(int u,int l,int r) {
    if(tr[u].L == l && tr[u].R == r) return tr[u].maxv;
    int mid = (tr[u].L + tr[u].R) >> 1;
    if(r <= mid) return Query(tr[u].lc,l,r);
    else if(l > mid) return Query(tr[u].rc,l,r);
    else return max(Query(tr[u].lc,l,mid),Query(tr[u].rc,mid + 1,r));
}
void Solve() {
    read(N);
    for(int i = 1 ; i <= N ; ++i) read(P[i]);
    int cur = 0,Q = 0;
    for(int i = 1 ; i <= N ; ++i) {
	cur = max(cur,P[i]);
	if(cur == P[i]) {val[i] = 2;++Q;}
	else val[i] = 1;
    }
    build(rt[0],1,N + 1,0);build(rt[1],1,N + 1,-2 * N);
    for(int i = N ; i >= 1 ; --i) {
	int tmp[2];
	for(int j = 0 ; j < 2 ; ++j) tmp[j] = Query(rt[j],P[i] + 1,N + 1);
	for(int j = 0 ; j < 2 ; ++j) {
	    if(tmp[j] + val[i] > 0) {
		int t = (tmp[j] + val[i]) & 1;
		Change(rt[t],P[i],tmp[j] + val[i]);
	    }
	}
    }
    int len[2] = {0,0},mx_num[2] = {0,0};
    for(int i = 1 ; i <= N ; ++i) {
	ans[i] = -1;
	Change(rt[0],P[i],0);Change(rt[1],P[i],-2 * N);
	if(val[i] == 2) --Q;
	for(int k = 0 ; k < 2 ; ++k) {
	    int nxt_len[2],nxt_mx_num[2];
	    memcpy(nxt_len,len,sizeof(len));
	    memcpy(nxt_mx_num,mx_num,sizeof(mx_num));
	    nxt_mx_num[k] = max(nxt_mx_num[k],P[i]);
	    if(nxt_mx_num[k] == P[i]) ++nxt_len[k];
	    if(i == N) {
		if(nxt_len[0] == nxt_len[1]) {ans[i] = k;break;}
		continue;
	    }
	    bool flag = 0;
	    
	    for(int j = 0 ; j < 2 ; ++j) {
		int t = nxt_len[j] - nxt_len[j ^ 1] + Q;
		if(t >= 0 && Query(rt[t & 1],nxt_mx_num[j ^ 1] + 1,N + 1) >= t) {flag = 1;break;}
	    }
	    if(flag) {
		ans[i] = k;
		memcpy(len,nxt_len,sizeof(len));
		memcpy(mx_num,nxt_mx_num,sizeof(mx_num));
		break;
	    }
	}
	if(ans[i] < 0) {
	    puts("-1");return;
	}
    }
    for(int i = 1 ; i <= N ; ++i) putchar('0' + ans[i]);
    enter;
}
int main() {
#ifdef ivorysi
    freopen("f1.in","r",stdin);
#endif
    Solve();
}