数与矩阵快速幂基本知识

首先储备知识：数的快速幂

参考资料：http://blog.csdn.net/y990041769/article/details/22311889

快速幂取模

用法：用于求解 a 的 b 次方，而b是一个非常大的数，用O（n）的复杂度会超时。

那么就需要这个算法，注意它不但可以对数求次幂，而且可用于矩阵快速幂。

假如求 x ^ n 次方

我们可以把 n 表示为 2^k1 + 2k2  + 2^k3....，可以证明所有数都可以用前式来表示。（其实就是二进制表示数的原理）

那么 x^n = x^2^k1 * x^2^k2 * x^2^k3......

那么就可以利用二进制来加快计算速度了。

假如 x^22 , 22转化为二进制为 10110， 即 x^22 = x^16 * x^4 * x^2;

那么是不是可以在O（logn）的复杂度求解。

int fun(int x,int n)
{
    int res=1;
    while(n>0)
    {
        if(n&1)
            res=(res*x)%p;
        x=(x*x)%p;
        n>>=1;
    }
    return res;
}

关于矩阵：http://blog.csdn.net/poem_of_sunshine/article/details/21319417

与数相同，如果把数变成一个很大的矩阵，情况又是怎么样呢

首先要写出矩阵的乘法，然后把底数的部分改成一个矩阵

代码：

typedef vector<int>vec;
typedef vector<vec>mat;
mat mul(mat a,mat b)//矩阵的乘法
{
    mat c(a.size(),vec(b[0].size()));
    for(int i=0;i<a.size();i++)
    {
        for(int k=0;k<b.size();k++)
        {
            for(int j=0;j<b[0].size();j++)
            {
                c[i][j]=(c[i][j]+a[i][k]*b[k][j])%N;
            }
        }
    }
    return c;
}
mat get_ans(mat a,int n)//矩阵的快速幂
{
    mat b(a.size(),vec(a.size()));
    for(int i=0;i<a.size();i++)
    {
        b[i][i]=1;
    }
    while(n>0)
    {
        if(n&1) b=mul(b,a);
        a=mul(a,a);
        n>>=1;
    }
    return b;
}