统计学习方法与Python实现（二）——k近邻法
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1、定义
k近邻法假设给定一个训练数据集，其中的实例类别已定。分类时，对新的实例，根据其k个最近邻的训练实例的类别，通过多数表决的方式进行预测。k近邻法不具有显式的学习过程，而实际上是利用训练数据集对特征空间进行划分，并作为其分类的模型。k近邻法的三个基本要素是 k值的选择、距离度量和分类决策规则。
k近邻法的模型是将特征空间划分成一些称为单元的子空间，并且每个单元内的点所属的类都被该单元的类标记所唯一确定。
单元的划分和类标记的确定需要首先对距离进行度量。特征空间中两个实例点的距离是它们之间相似程度的反映。对于n维实数向量的特征空间Rn，两向量xi和xj之间的Lp距离定义为：
当p=1时，称为曼哈顿距离：
当p=2时，称为欧氏距离：
当p=∞时，取值为各个坐标距离的最大值：
对于k值的选择，如果选择较小的k值，学习的近似误差会减小，但估计误差会增大，对噪声敏感。k值的减小就意味着整体模型变得复杂，容易发生过拟合。如果选择较大的k值，可以减少学习的估计误差，但缺点是学习的近似误差会增大。k值的增大 就意味着整体的模型变得简单。
在应用中，k值一般取一个较小的数值，并通过交叉验证法来确定最优的k值。
k近邻法中的分类决策规则往往是多数表决，即由输入实例的k个近邻的训练实例中的多数类决定输入实例的类。多数表决规则等价于经验风险最小化。
2、构造kd树
实现k近邻法是，主要的问题是如何对训练数据进行快速k近邻搜索。如果使用现行扫描，需要计算输入实例与每一个训练实例的距离，非常耗时。kd树是一种对k维空间中的实例 点进行存储以便对其进行快速检索的树形数据结构，可以提高搜索效率。
kd树是二叉树，表示对k维空间的一个划分。每次划分需要选定一个坐标轴和一个切分点，以此确定一个超平面对训练实例进行一次划分，并递归直到将实例划分完全。如果切分点每次近似选为该坐标轴上的中位数，则称这样的kd树为平衡kd树，算法流程如下：
a、构造根结点，其对应于包含整个训练实例T的k维空间。选择x1作为坐标轴，以T中所有实例的x1坐标的中位数作为切分点，切分由通过切分点并与x1轴垂直的超平面实现。由根节点生成深度为1的左右结点，左子结点对应于x1坐标小于切分点的子区域，右子结点对应于x1坐标大于切分点的子区域。落在切分超平面上的实例被保存在根结点。
b、递归重复。对于深度为 j 的结点，选择xn作为切分的坐标轴，其中n = ( j mod k) + 1，以节点区域中所有实例的xn坐标的中位数作为切分点。其他与a步中相同。
c、到两个子区域都没有实例点存在时停止，从而形成kd树的区域划分。
3、搜索kd树
完成对kd树的构造后，对于输入的测试实例，需要对kd树进行搜索，以得到输入实例的类别。以k=1的最近邻为例。给定输入实例，搜索最近邻。首先找到包含目标点的叶结点，其对应于包含目标点的最小子区域。以此叶结点的实例作为当前最近点，则目标点的最近邻一定在以目标点为中心，并通过当前最近点的超球体内部。然后返回当前节点的父结点，如果父结点的另一子结点的子区域与超球体相交，则在此子区域内寻找与目标点更近的实例点。如果存在这样的点，将此点作为新的当前最近点。返回更上一级的父结点，继续上述过程，直到父节点的另一子结点的子区域与超球体不相交，即不存在更近的点。算法流程如下：
a、从根结点出发，向下访问kd树，找到子区域包含输入实例的叶结点。
b、以此叶结点作为当前最近点。
c、递归的向上回退。如果该结点保存的实例点比当前最近点更近，则将此结点更新为当前最近点。如果以目标点为中心，通过当前最近点的的超球体与当前最近点的父结点的另一个子节点对应的子区域相交，则在此子区域中进行搜索与更新。如果不相交，则向上回退。
d、当回退到根结点时，搜索结束。当前最近点即为最近邻点。
4、kd树的构造的Python实现
用到的数据集是sk-learn中的iris鸢尾花卉数据集，共150个数据，分为'setosa', 'versicolor', 'virginica'三类，数据包含四个特征sepal length（花萼长度）、sepal width（花萼宽度）、petal length（花瓣长度）和petal width（花瓣宽度）。
本次先从k=1的最近邻法实现k近邻。
首先，载入数据集并划分训练集和测试集。
from binarytree import *
import numpy as np
from sklearn.datasets import load_iris
# 从sk-learn库载入iris数据集
iris = load_iris()
# dict_keys(['data', 'target', 'target_names', 'DESCR', 'feature_names', 'filename'])
# 'target_names': array(['setosa', 'versicolor', 'virginica']
# 设定训练集和测试集大小
train_length = 105
test_length = 45
data = iris['data'] # shape = (150, 4)
label = iris['target'] # 0:50,0; 50:100,1; 100:150,2
train_data = np.zeros([train_length, 4])
train_label = np.zeros([train_length])
test_data = np.zeros([test_length, 4])
test_label = np.zeros([test_length])
# 划分训练集和测试集
length = train_length
for j in range(3):
train_data[j * int(length/3):(j+1) * int(length/3)] = data[j*50:j*50 + int(length/3)]
train_label[j * int(length/3):(j+1) * int(length/3)] = label[j*50:j*50 + int(length/3)]
length = test_length
for j in range(3):
test_data[j * int(length/3):(j+1) * int(length/3)] = data[(j+1) * 50 - int(length/3):(j+1) * 50]
test_label[j * int(length/3):(j+1) * int(length/3)] = label[(j+1) * 50 - int(length/3):(j+1) * 50]
train_index = np.arange(train_length).reshape([train_length, 1])
train_data = np.hstack((train_data, train_index))
然后，构造kd树，二叉树由binarytree库实现。构造策略是，每次将数据四个特征中方差最大的轴作为划分轴，将该轴上特征值小于等于中位数的数据划分到左子树，大于中位数的数据划分到右子树。并记录每次划分时的轴和中位数值。
# 生成kd树
def creat_kd_tree(data, root, turn, log):
axis = selct_axis(data[:, :-1])
data = data[data[:, axis].argsort()] # 按第axis列排序
mid = data[:, axis].shape[0] // 2
# 如果多个值在axis上的值与mid_data相同，则全部划分到左结点
while mid < data.shape[0]-1 and data[mid + 1, axis] == data[mid, axis]:
mid += 1
mid_data = data[mid]
log[int(mid_data[-1])] = (axis, mid_data[axis])
# 存储左右子树下的结点
data_left, data_right = [], []
for temp in data[:mid]:
data_left.append(temp)
for temp in data[mid + 1:]:
data_right.append(temp)
# 创建新结点并递归
node = Node(int(mid_data[-1]))
# print(mid_data[-1], data_left, data_right)
if turn: root.right = node
else: root.left = node
if data_left:
creat_kd_tree(np.array(data_left), node, 0, log)
if data_right:
creat_kd_tree(np.array(data_right), node, 1, log)
# 选择方差最大的轴作为划分对象
def selct_axis(data, num=4):
index = 0
all_var = 0
for i in range(num):
axis_var = data[:, i].var()
if all_var < axis_var:
all_var = axis_var
index = i
return index
# kd树的根节点
node_init = Node(-1)
# log中保存了每个值为index的结点的超平面的轴和中位数值
log = [0 for i in range(train_length)]
creat_kd_tree(train_data, node_init, 0, log)
print(node_init.left)
5、kd树的搜索的Python实现
首先，寻找输入实例所属的子区域的叶节点，并记录路径。然后，根据记录的路径，从叶结点开始，计算以输入实例为球心，最近邻点距离为半径的超球体，与父结点的超平面有无交集。如果有交集，则遍历该父结点下的所有子结点，同时记录遍历过得结点防止重复计算。最后，返回模型中最近邻点的索引和距离。
# 寻找输入实例所属的子区域的叶节点，并记录路径
def find_leave(data, root, log):
route = [(root.value, root)]
while 1:
index = root.value
# print(index)
if data[log[index][0]] <= log[index][1]:
temp = root.left
else:
temp = root.right
if temp is None:
return route
else:
route.append((temp.value, temp))
root = temp
# 寻找最近邻点
def find_neibor(simple, route, log):
# 初始化最近邻点和距离
near = route[-1][0]
dst = np.linalg.norm((simple - train_data[near, :-1]))
# 记录已经遍历过的结点
save = []
# 从后往前返回父结点
for fa in route[:-1][::-1]:
# 如果父结点的超平面与以输入实例为球心，最近邻点距离为半径的超球体有交集，则遍历其所有子结点
if abs(log[fa[0]][1] - simple[log[fa[0]][0]]) < dst:
child = []
get_child(fa[1], child)
for choic in child:
if choic not in save:
dst0 = np.linalg.norm((simple - train_data[choic, :-1]))
save.append(choic)
if dst0 < dst:
dst = dst0
near = fa[0]
return near, dst
# 返回父结点的所有子结点的值的列表
def get_child(root, child):
if root is None:
return 0
else:
child.append(root.value)
get_child(root.left, child)
get_child(root.right, child)
最后，在测试集上进行测试。
# 测试准确率
def acc(ans, label):
counter = 0
for index, num in enumerate(ans):
if num == label[index]: counter += 1
return counter / len(ans)
# 训练集
for n in range(train_length):
valid_simple = train_data[n, :-1]
rou = find_leave(valid_simple, node_init.left, log)
valid_point, zero_true_distance = find_neibor(valid_simple, rou, log)
# print(rou)
# print(point, distance)
# 测试
ans = []
for n in range(test_length):
test_simple = test_data[n]
# rou记录了到输入实例叶结点的路径
rou = find_leave(test_simple, node_init.left, log)
test_point, test_distance = find_neibor(test_simple, rou, log)
ans.append(train_label[test_point])
# print(rou)
print(test_point, test_distance, train_label[test_point])
print('test_acc', acc(ans, test_label))
在训练集上，每个输入都可以找到自己对应距离为0的结点。在测试集中，准确率为1，部分测试结果如下。第一列为最近邻点的索引，第二列为距离，第三列为分类结果。
6、其他问题
a、如何从k=1的最近邻法拓展到k为其他值下的k近邻法？
可以用长度为k的排序列表来实现。首先，先以关系最近的k个父结点和兄弟结点初始化排序列表。然后，按与最近邻法相同的算法，每次用排序列表中距离最大的值进行比较（也可能出现新值的距离比原来列表中的多个值都小的情况）。最后，当距离最大的值的超球体都与父结点的超平面无交集时，返回排序列表作为最近的k个值进行投票。
b、为什么用到超平面的距离代替超球体与其他结点的区域是否有交集？
因为计算点到区域的距离比较复杂，用到超平面的距离来代替超球体与超区域的问题是充分的，而且易于计算。
c、对于如手写数字集mnist类似的，数据值为0,1二值化的数据集，如何进行kd树的中位数划分？
可以每次在结点上任选一值为0的样本，然后将值为0的分到左子树，值为1的分为右子树，但是这样做并不能提高多少搜索效率。（所以用了iris...）
参考：李航 《统计学习方法（第二版）》
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