快速傅里叶变换（FFT）

埋了一天的算导就当我看懂了？

。。。

目前仅限于学到FFT计算多项式系数向量的卷积，什么频域什么东西的那些我都不懂。。。。

我就大概讲一下？

首先我们对多项式的系数表达一般是这样的：

$$sum_{i=0}^{n-1} a_i x^i$$

那么这个多项式的次数界为n，最高次数为n-1。

然后多项式的加减法很简单，是$O(n)$可以计算的，而乘法不一样，因为对于多项式$A(x) imes B(x)=C(x)$有

$$C(x)=sum_{i=0}^{n-1} c_i x^i$$

其中

$$c_i=sum_{k=0}^i a_kb_{i-k}$$

显然$O(n^2)$

我们将这种系数表示法的系数用一个a向量表示$a=(a_0, a_1, cdots , a_{n-1})$，那么我们算多项式乘法实际上只要算多项式系数就行了。

定义卷积：

$$c = a otimes b$$

a、b、c均为向量，而

$$c_i=sum_{k=0}^i a_kb_{i-k}$$

其实就是这个定义卷积的定义。

接下来介绍一种很强大的表示方式，点值表示法。

首先一个次数界为n的多项式，一定能用n个点来表示出来（可以说是二维平面上的n个不同横坐标的点），多项式A的点值表达式即

$${(x_0, y_0), (x_1, y_1), cdots  , (x_{n-1}, y_{n-1})}$$

其中$x_i$各不相同，且$y_k=A(x_k)$。而点值上多项式的加减法乘法都是O(n)的！（我都还没证。。先用着吧。。）

对于两个多项式$A$和$B$，运算后的多项式为$C$：

$$A={(x_0, y_{A, 0}), (x_1, y_{A, 1}), cdots , (x_{n-1}, y_{A, n-1})}$$

$$B={(x_0, y_{B, 0}), (x_1, y_{B, 1}), cdots , (x_{n-1}, y_{B, n-1})}$$

（注意$x_i$均对应相等！）

那么$C$的点值表示为：

$$C=A+B={(x_0, y_{A, 0}+y_{B, 0}), (x_1, y_{A, 1}+y_{B, 1}), cdots , (x_{n-1}, y_{A, n-1}+y_{B, n-1})}$$

$$C=A-B={(x_0, y_{A, 0}-y_{B, 0}), (x_1, y_{A, 1}-y_{B, 1}), cdots , (x_{n-1}, y_{A, n-1}-y_{B, n-1})}$$

$$C=A imes B={(x_0, y_{A, 0}y_{B, 0}), (x_1, y_{A, 1}y_{B, 1}), cdots , (x_{n-1}, y_{A, n-1}y_{B, n-1})}$$

！！！都是$O(n)$的！！

但是我们发现其实乘法是有缺陷的，就是a次界的多项式乘b次界的多项式得到的多项式的次数界应该是a+b-1的。

但是我们不怕！我们可以扩充！我们将向量$A$和$B$的次数界扩充到a+b-1！系数用0补齐！而点值表示法则多加几个点！

那么就行了。。。。

那么问题成功转化为如何将系数表示法转换到点值表示法，然后用O(n)解决它，然后再转换回系数表示法。其中系数表示法转换到点值表示法的操作叫求值运算，而点值转换到系数的操作叫做插值运算。他们是有良定义的互逆运算！

而有一种方法称作离散傅里叶变换（DFT）的东西可以实现两种操作，伟大的科学家发明了一种高效实现DFT的算法FFT，总复杂度为$O(nlogn)$。无限仰膜orz

然后再介绍点复数吧。。最让我感到神奇的是复数这个概念，，，好强大。。

复数的话我大概懂得这点？

复数有实部和虚部，其中虚部的单位是$i=$，定义为$e=a+bi$，带$i$的是虚部

然后当虚部为0时，这个复数就是实数。。。（也就是说实数是复数的子集。。。。）

然后复数的运算是：当$x=a+bi, y=c+di$

$$x+y=(a+c)+(b+d)i$$

$$x-y=(a-c)+(b-d)i$$

$$x imes y=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i$$

除法怎么搞。。。。。。（以后补。。

然后我们定义复数幂：

$$e^{iu}=cos(u)+isin(u)$$

然后因为由于是指数，我们可以得到很好的性质。

关于复数还是详见算导p511吧。。我不阐述了。。

fft的具体实现也看算导p513吧，，我也不阐述了。。。

关于fft的迭代优化我也不阐述了。。。。

然后本文介绍fft的东西就完结了。。

下边是一些疑问与拓展：

我之前的疑问和暂时还有疑问的地方：

1. 为什么是用复数指数幂的形式？我的解释是，，，因为根据复数幂定义能提供良好的相消引理。。这个很简单吧。。
2. 为什么复数幂的形式是$e^{iu}=cos(u)+isin(u)$呢？因为周期性？
3. 为什么复数做x时，赋值到复数的实部？之前解释过了，因为实数是复数的子集。
4. 为什么$DFT^{-1}$后取的也是实部？同上

拓展：

1. 多维的fft：对于多维多项式：
   $$y_{k_1, k_2, cdots  , k_d}=sum_{j_1}^{n_1-1} sum_{j_2}^{n_2-1} cdots sum_{j_d}^{n_d-1} a_{j_1, j_2, cdots , j_d} omega_{n_1}^{j_1 k_1} omega_{n_2}^{j_2 k_2} cdots omega_{n_d}^{j_d k_d}$$
   我们可以对每一维单独用fft求出，然后再带入原式求下一维。认真体会。。

模板题：codevs：3123 高精度练习之超大整数乘法

将十进制数看成多项式x=10，然后系数就是所有的数，然后用fft算出乘积后的系数后进位即可。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <string>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define rep(i, n) for(int i=0; i<(n); ++i)
#define for1(i,a,n) for(int i=(a);i<=(n);++i)
#define for2(i,a,n) for(int i=(a);i<(n);++i)
#define for3(i,a,n) for(int i=(a);i>=(n);--i)
#define for4(i,a,n) for(int i=(a);i>(n);--i)
#define CC(i,a) memset(i,a,sizeof(i))
#define read(a) a=getint()
#define print(a) printf("%d", a)
#define dbg(x) cout << (#x) << " = " << (x) << endl
#define error(x) (!(x)?puts("error"):0)
inline const int getint() { int r=0, k=1; char c=getchar(); for(; c<'0'||c>'9'; c=getchar()) if(c=='-') k=-1; for(; c>='0'&&c<='9'; c=getchar()) r=r*10+c-'0'; return k*r; }
#define rdm(x, i) for(int i=ihead[x]; i; i=e[i].next)

struct cp {
	double r, i;
	cp(double _r=0.0, double _i=0.0) : r(_r), i(_i) {}
	cp operator+ (const cp &x) const { return cp(r + x.r, i + x.i); }
	cp operator- (const cp &x) const { return cp(r - x.r, i - x.i); }
	cp operator* (const cp &x) const { return cp(r*x.r - i*x.i, r*x.i + i*x.r); }
};
const int N=1000005;
const double PI=acos(-1.0);
int rev[N];
cp A[N];
void DFT(cp *a, int n, int flag) {
	rep(i, n) A[rev[i]]=a[i];
	rep(i, n) a[i]=A[i];
	for(int m=2; m<=n; m<<=1) {
		cp wn(cos(2.0*PI/m*flag), sin(2.0*PI/m*flag));
		for(int i=0; i<n; i+=m) {
			cp w(1.0); int mid=m>>1;
			rep(j, mid) {
				cp u=a[i+j+mid]*w, t=a[i+j];
				a[i+j]=t+u;
				a[i+j+mid]=t-u;
				w=w*wn;
			}
		}
	}
	if(flag==-1) rep(i, n) a[i].r/=n;
}

char s[N];
void readin(cp *a, int &n) {
	scanf("%s", s);
	n=strlen(s);
	rep(i, n) a[i].r=s[n-i-1]-'0';
}
void init(int &n) {
	int k=1, L=0;
	while(k<n) k<<=1, ++L;
	n=k;
	rep(i, n) {
		int t=i, ret=0; k=L;
		while(k--) ret<<=1, ret|=(t&1), t>>=1;
		rev[i]=ret;
	}
}
cp a[N], b[N];
int n, len, ans[N];
int main() {
	readin(a, n); len+=n;
	readin(b, n); len+=n;
	--len;
	init(len);
	DFT(a, len, 1); DFT(b, len, 1);
	rep(i, len) a[i]=a[i]*b[i];
	DFT(a, len, -1);
	rep(i, len) ans[i]=(int)(a[i].r+0.5);
	rep(i, len) ans[i+1]+=ans[i]/10, ans[i]%=10;
	++len;
	while(ans[len]==0 && len) --len;
	for3(i, len, 0) printf("%d", ans[i]);
	return 0;
}

　

其它例题：

【BZOJ】2179: FFT快速傅立叶（fft）：同上，高精度裸题

【BZOJ】3527: [Zjoi2014]力（fft+卷积）：注意卷积的形式