http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3028
题意:
每种食物的限制如下:
汉堡:偶数个;
可乐:0个或1个
鸡腿:0个,1个或2个
蜜桃:奇数个
鸡块:4的倍数个
包子:0个,1个,2个或3个
土豆:不超过一个。
面包:3的倍数个
问带$n$个物品的方案数(n<=10^500)
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; int main() { int n=0; char c; while(cin >> c) ((n*=10)+=c-'0')%=10007; cout << ((n*(n+1)%10007)*(n+2)%10007)*1668%10007 << endl; return 0; }
学习了一下各种姿势= =
首先母函数易得= =
$$
egin{align}
汉堡 & = x^0 + x^2 + x^4 + cdots = frac{1}{1-x^2} \
蜜桃 & = x^1 + x^3 + x^5 + cdots = frac{x}{1-x^2} \
面包 & = x^0 + x^3 + x^6 + cdots = frac{1}{1-x^3} \
鸡块 & = x^0 + x^4 + x^8 + cdots = frac{1}{1-x^4} \
土豆 & = x^0 + x^1 = frac{1-x^2}{1-x} \
可乐 & = x^0 + x^1 = frac{1-x^2}{1-x} \
鸡腿 & = x^0 + x^1 + x^2 = frac{1-x^3}{1-x} \
包子 & = x^0 + x^1 + x^2 + x^3 = frac{1-x^4}{1-x} \
end{align}
$$
乘起来就是 $ f(x) = frac{x}{(1-x)^4} $
根据泰勒展开$sum_{i=0}^{infty} x^i = frac{1}{1-x}$
发现
$$ f(x) = x left( frac{1}{1-x}
ight)^4 = x left( sum_{i=0}^{infty} x^i
ight)^4 $$
而$left( sum_{i=0}^{infty} x^i ight)^n$中的$x$的$a$次项的系数是$inom{a+n-1}{n-1}$
证明:
对于系数$a$,由于有$n$个多项式相乘,我们就设$a$由$n$个非负数的和。而由于有$0$的出现,我们将式子两边加上$n$,这样就能没负数啦= =。将这些数全部变成$1$的和,即$a+n = 1 + 1 + 1 + cdots +1$,假设有$n-1$个竖线插在这$a+n$个$1$之间,即有$a+n-1$个位置,那么显然$inom{a+n-1}{n-1}$就是答案= =(即分割成$n$份。
所以答案就是$f(x)$的$x$的$n$次系数,即$inom{n+2}{3}$