【BZOJ】3771: Triple

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3771

题意：n个带价值互不相同的物品，每次可以取1、2、3个物品，问能得到的所有的价值和这个价值的方案数（n不明（无意义= =），价值<=40000）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=200005;
int bit[N];
const double PI=acos(-1);
struct cp {
	double r, i;
	cp(double _r=0, double _i=0) : r(_r), i(_i) {}
	cp operator + (const cp &a) { return cp(r+a.r, i+a.i); }
	cp operator - (const cp &a) { return cp(r-a.r, i-a.i); }
	cp operator * (const cp &a) { return cp(r*a.r-i*a.i, r*a.i+i*a.r); }
};
void dft(cp *a, int n, int flag) {
	for(int i=0; i<n; ++i) if(i<bit[i]) swap(a[i], a[bit[i]]);
	for(int m=2; m<=n; m<<=1) {
		cp wn(cos(PI*2.0/m), sin(PI*2.0/m)*flag);
		int mid=m>>1;
		for(int i=0; i<n; i+=m) {
			cp w(1);
			for(int j=0; j<mid; ++j) {
				static cp u, v;
				u=a[i+j], v=a[i+j+mid]*w;
				a[i+j]=u+v;
				a[i+j+mid]=u-v;
				w=w*wn;
			}
		}
	}
	if(flag==-1) for(int i=0; i<n; ++i) a[i].r/=n;
}
void fft(int *A, int *B, int *C, int n) {
	static cp a[N], b[N];
	int len=1, bitl=-1;
	for(; len<n; len<<=1, ++bitl);
	for(int i=0; i<len; ++i) bit[i]=(bit[i>>1]>>1)|((i&1)<<bitl);
	for(int i=0; i<len; ++i) a[i].r=A[i], a[i].i=0, b[i].r=B[i], b[i].i=0;
	dft(a, len, 1); dft(b, len, 1);
	for(int i=0; i<len; ++i) b[i]=a[i]*b[i];
	dft(b, len, -1);
	for(int i=0; i<len; ++i) C[i]=b[i].r+0.5;
}
int a[N], b[N], c[N], t[N], ans[N], n, len;
void work() {
	int l=n;
	for(int i=0; i<l; ++i) ans[i]=a[i];
	fft(a, a, t, n*2-1);
	l=n*2-1;
	for(int i=0; i<l; ++i) ans[i]+=(t[i]-b[i])>>1;
	fft(a, t, t, n*3-2);
	fft(a, b, a, n*3-2);
	l=n*3-2;
	for(int i=0; i<l; ++i) ans[i]+=(t[i]-3*a[i]+(c[i]<<1))/6;
}
int main() {
	scanf("%d", &len);
	for(int i=0; i<len; ++i) { int x; scanf("%d", &x); a[x]=1; b[x*2]=1; c[x*3]=1; n=max(x+1, n); }
	work();
	len=n*3-2;
	for(int i=0; i<len; ++i) if(ans[i]) printf("%d %d
", i, ans[i]);
	return 0;
}

　　

首先容易得到母函数$A=sum_{存在价值为i的物品} x^i$

敲完了fft才发现如果直接求母函数的三次方是不对的= =...

妈呀竟然没想到容斥QAQ

设$B = {A[i]^2}, C = {A[i]^3}$

首先我们对取法分别求：

取1个的方案 $ = A$

取2个的方案 $ = frac{A^2 - B}{A^{2}_{2}} = frac{A^2 - B}{2}$

取3个的方案 $ = frac{A^3 - frac{3!}{2!1!} AB + frac{3!}{2!1!} C - C}{A^{3}_{3}} = frac{A^3 -3AB + 2C}{6}$

（看不懂的建议先去看《组合数学》= =）

然后fft搞搞就行辣= =