【BZOJ】2876: [Noi2012]骑行川藏

题意

给出(s_i, k_i, v_i', E)，满足(sum_{i=1}^{n} k_i s_i ( v_i - v_i' )^2 le E, v_i > v_i')，最小化$ sum_{i=1}^{n} frac{s_i}{v_i} $

分析

首先是贪心，很显然小于等于号要取等号，即问题转化为，满足(g(V) = sum_{i=1}^{n} k_i s_i ( v_i - v_i' )^2 = E)，最小化$ f(V) = sum_{i=1}^{n} frac{s_i}{v_i}$。于是拉格朗日乘数大法好。

题解

拉格朗日乘数：
满足(g(X) = c)，最大（小）化(f(X))，其中(X)是向量。
大概就是令(F(X, lambda) = f(X) + lambda (g(X) - c))，得到(|X|+1)个偏导为0的方程，答案就是所有解的其中一个。
对于本题:
对

$$ egin{align} F(V, lambda) & = f(V) + lambda (g(V) - E) \ & = sum_{i=1}^{n} left( frac{s_i}{v_i} + lambda k_i s_i ( v_i - v_i' )^2 ight) - lambda E \ & = sum_{i=1}^{n} left( frac{s_i}{v_i} + lambda k_i s_i v_i^2 + lambda k_i s_i {v'}_i^2 - 2lambda k_i s_i v'_i v_i ight) - lambda E \ end{align} $$

解出偏导方程，得到:

$$ 2 lambda k_i v_i^2 (v_i - v'_i) - 1 = 0 $$

由于(v_i > v_i')，所以对于答案的解来说，(lambda>0)。而且还可以发现(v_i)关于(lambda)单调，然后得到((v_i - v ' _ i))关于(lambda)单调。所以(g(V))关于(lambda)单调，于是我们可以二分一下(lambda)。得到了(lambda)，求(v_i)也可以二分，或者牛顿迭代。

反思

1、数学太弱。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef double lf;
const lf oo=1e9, eps=1e-12;
const int N=10005;
lf s[N], k[N], vv[N], v[N];
int n;
inline lf sqr(lf a) {
	return a*a;
}
lf got(lf lambda) {
	lf e=0;
	for(int i=1; i<=n; ++i) {
		lf l=0, r=oo, go=1/(lambda*k[i]*2);
		while(r-l>=eps) {
			lf mid=(l+r)/2;
			if(sqr(mid)*(mid-vv[i])<=go) {
				l=mid;
			}
			else {
				r=mid;
			}
		}
		v[i]=(l+r)/2;
		e+=k[i]*s[i]*sqr(v[i]-vv[i]);
	}
	return e;
}
int main() {
	lf E, l=0, r=oo;
	scanf("%d%lf", &n, &E);
	for(int i=1; i<=n; ++i) {
		scanf("%lf%lf%lf", &s[i], &k[i], &vv[i]);
	}
	while(r-l>=eps) {
		lf mid=(l+r)/2;
		if(got(mid)<=E) {
			r=mid;
		}
		else {
			l=mid;
		}
	}
	got((l+r)/2);
	lf ans=0;
	for(int i=1; i<=n; ++i) {
		ans+=s[i]/v[i];
	}
	printf("%.9f
", ans);
	return 0;
}