// 很久不写图论，连模板也不熟悉了0.0
// 这题是一个技巧性比较高的暴力DFS
Catenyms
题目大意
定义catenym为首尾字母相同的单词组成的单词对， 例如：
dog.gopher
gopher.rat
rat.tiger
aloha.aloha
arachnid.dog
而catenym系统则是多个利用该规则组成的单词串，例如：
aloha.aloha.arachnid.dog.gopher.rat.tiger
给定一组单词，让你判断是否能组成catenym系统，且每个单词只能使用一次。
无解时输出“***”。
数据范围
单词长度 1~20，单词个数 3 <= n <= 1000
题目解答
图论专场的练习题，一看要输出所有单词的序列，感觉就是拓扑排序。
于是想当然地把每个单词作为顶点，能首尾相连的关系作为边。如果能得到这个图的拓扑排序（每个单词都刚好用上了），并且保持字典序，那么刚好就是本问题的解。
问题在于，拓扑排序必须是有向无环图（DAG），而单词之间的边关系很容易就成环了，这个方法就行不通了O.O
经过队友指点，发现可以把26个字母当作顶点，单词作为边，题意也就是要找到一条通过所有边的路径，即求解字典序最小的欧拉路！！！
来复习一下离散数学的知识：
1.无向连通图 G 是欧拉图，当且仅当 G 不含奇数度结点( G 的所有结点度数为偶数)；2.无向连通图 G 含有欧拉通路，当且仅当 G 有零个或两个奇数度的结点；3.有向连通图 D 是欧拉图，当且仅当该图为连通图且 D 中每个结点的入度=出度；4.有向连通图 D 含有欧拉通路，当且仅当该图为连通图且 D 中除两个结点外，其余每个结点的入度=出度 。
所以怎么获得欧拉路呢？
- 需要首先判断是否是欧拉图（具有欧拉回路）或半欧拉图（具有欧拉通路）：只需要记录每个点的出度和入度，根据（半）欧拉图相关定理判定即可。
- dfs判断连通性
- 逆序输出dfs序列 （建图时按字典序排序后加入边）
一开始直接看了题解也是一头雾水，最终形成了自己理解的算法。采用邻接表的写法：
#include<cstdio> #include<iostream> #include<cstdlib> #include<string> #include<cstring> #include<vector> #include<algorithm> using namespace std; struct Edge { int to; int id; // 边的编号 letters[id] = letter bool vis; // dfs是否访问过 // string letter; Edge(int v, int i): to(v), id(i) { vis = false; } }; vector<Edge> edge[30]; string letters[1010]; int in[30], out[30]; // 顶点的入度与出度 int ans[1010], cnt; void init() { cnt = 0; memset(in, 0, sizeof(in)); memset(out, 0, sizeof(out)); for(int i=0;i<26;i++) { edge[i].clear(); } } void dfs(char u) { for(int i=0;i<edge[u].size();i++) { if(!edge[u][i].vis) { edge[u][i].vis = true; // cout<<edge[u][i].letter<<'-'; dfs(edge[u][i].to); ans[cnt++] = edge[u][i].id; // 这行是得到答案的关键，逆序存储字典序最小的路径 } } } int main() { int T, n; scanf("%d", &T); while(T--) { scanf("%d", &n); init(); int st = 26; for(int i=1;i<=n;i++) { char s[25]; scanf("%s", s); letters[i] = s; } sort(letters+1, letters+1+n); for(int i=1;i<=n;i++) { int u = letters[i][0] - 'a'; int v = *(letters[i].end()-1) - 'a'; edge[u].push_back(Edge(v, i)); out[u]++; in[v]++; st = min(st, u); } int num = 0; bool can = true; for(int i=0;i<26;i++) { if(out[i]-in[i]==1) { ++num; if(num==1) { st = i; } else { can = false; break; } } else if(out[i]-in[i]>1 || in[i]-out[i]>1) { can = false; break; } } if(!can) { printf("*** "); continue; } // cout<<st<<endl; dfs(st); if(cnt!=n) { printf("*** "); continue; } for(int i=cnt-1;i>=0;i--) { printf("%s%c", letters[ans[i]].c_str(), i!=0?'.':' '); } } return 0; }
参考别人没有建图的代码0ms，采用并查集缩点，判断是否联通：
#include<iostream> #include<cstdio> #include<string.h> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; // 来源：https://www.cnblogs.com/wd-one/p/4539305.html int out[30], in[30], step[1005], pre[30]; int n, k, t, st; char w[25]; struct Edge//结构体：边， 存储了边的起点（首字符）和终点（尾字符），状态（是否走过） { int s, e, v; char c[25]; }edge[1005]; bool cmp(Edge x, Edge y) { return strcmp(x.c, y.c) < 0 ? true : false; } int find(int x)//查找其父节点 { if(pre[x] != x) pre[x] = find(pre[x]); return pre[x]; } int panduan()//判断是否图是连通的 { int fx = find(edge[1].s); for(int i = 1; i <= 26; i++) { if(out[i] > 0 || in[i] > 0) { if(find(i) != fx) return 0; } } return 1; } void path(int en)//查找路径 { for(int i = 1; i <= n; i++) { if(edge[i].v == 0 && edge[i].s == en) { edge[i].v = 1; path(edge[i].e); step[++k] = i; } } } int main() { cin >> t; while(t--) { memset(out, 0, sizeof(out)); memset(in, 0, sizeof(in)); memset(step, 0, sizeof(step)); for(int i = 1; i <= 30; i++) pre[i] = i; scanf("%d", &n); for(int i = 1; i <= n; i++) { cin >> w; int len = strlen(w); int s = w[0] - 'a' + 1; int e = w[len - 1] - 'a' + 1; edge[i].s = s; edge[i].e = e; strcpy(edge[i].c, w); edge[i].v = 0; out[s]++; in[e]++; /*如果存在欧拉路径，那么所有的点一定都连通.所有的点都在一个集合里，可以用并查集知识 将所有连接的点并到一起。*/ int fx = find(s); int fy = find(e); if(fx != fy) pre[fx] = fy; } sort(edge + 1, edge + 1 + n, cmp);//题目要求字典序最小输出，就先按从小到大的顺序把边（单词）排好 /*st代表的是路径起点，在这里进行st = edge[1].s赋值，是应为存在两种情况：1.存在一定点出度>入度, 这个点是起点。2.所有点出度= 入度， 那么从任意一点出发都可以， 为了保证字典序最小， 就从第一个单词开始*/ st = edge[1].s; int i, c1 = 0, c2 = 0; for(i = 1; i <= 26; i++)//判断是否有欧拉回路 { if(out[i] == in[i])continue; else if(in[i] == out[i] - 1) {c1++; st = i;}//起点 else if(in[i] == out[i] + 1) c2++; else break; } //如果符合了连通图，并且存在欧拉通路， 就开始找路径 if(i == 27 && ((c1 == c2 && c1 == 1) || (c1 == c2 && c1 == 0)) && panduan() == 1) { k = 0; path(st); for(int i = n; i > 1; i--)//输出这注意点，因为是递归求的路径， 最先得到的是最后的边 printf("%s.", edge[step[i]].c); printf("%s ", edge[step[1]].c); } else printf("*** "); } return 0; }
上面的代码并查集部分似乎不太必要，大概能加快连通图的判断，修改成自己的风格后依旧0ms：
#include<iostream> #include<cstdio> #include<string.h> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; // 参考自 https://www.cnblogs.com/wd-one/p/4539305.html int out[30], in[30], step[1005]; int n, k, st; struct Edge { int s, e, vis; char c[30]; }edge[1005]; bool cmp(const Edge &x, const Edge &y) { return strcmp(x.c, y.c) < 0; } void path(int st) { for(int i = 1; i <= n; i++) { if(edge[i].vis == 0 && edge[i].s == st) { edge[i].vis = 1; path(edge[i].e); step[++k] = i; } } } int main() { int t; cin >> t; while(t--) { memset(out, 0, sizeof(out)); memset(in, 0, sizeof(in)); memset(step, 0, sizeof(step)); scanf("%d", &n); for(int i = 1; i <= n; i++) { char w[25]; scanf("%s", w); int len = strlen(w); int s = w[0] - 'a' + 1; int e = w[len - 1] - 'a' + 1; edge[i].s = s; edge[i].e = e; strcpy(edge[i].c, w); edge[i].vis = 0; out[s]++; in[e]++; } sort(edge + 1, edge + 1 + n, cmp); st = edge[1].s; int num = 0; bool can = true; for(int i=1;i<=26;i++) { if(out[i]-in[i]==1) { ++num; if(num==1) { st = i; } else { can = false; break; } } else if(out[i]-in[i]>1 || in[i]-out[i]>1) { can = false; break; } } if(can) { k = 0; path(st); if(k!=n) { printf("*** "); } else { for(int i = n; i>=1; i--) { printf("%s%c", edge[step[i]].c, i==1?' ':'.'); } } } else { printf("*** "); } } return 0; }
（完）