动态规划——背包问题入门
1. 01背包
概述
给出N个物品，每个物体都具有一定的体积和价值，而每个物体都只有一个。 拥有一个V体积的背包，问应如何装包才能使背包中物体的总价值最大？
解题思路
背包问题是典型的动态规划类题目，而动态规划是典型的通过规律找出正解的方法。所以解题思路的关键在于如何寻找不同数据之间的关系（状态转移）。
直接描述不方便解释，我们以例题为例：
(注：01背包问题不涉及因为物体的形状、大小等而如何放入背包的问题，只是单纯考虑体积和价值。我们可以理解成每个物体都是液体，而这个背包是个大水缸（当然，每种液体要么全倒进去，要么一点不倒，不允许倒一部分。））
例：HDU2602 Bone Collector
Problem
Many years ago , in Teddy’s hometown there was a man who was called “Bone Collector”. This man like to collect varies of bones , such as dog’s , cow’s , also he went to the grave …
The bone collector had a big bag with a volume of V ,and along his trip of collecting there are a lot of bones , obviously , different bone has different value and different volume, now given the each bone’s value along his trip , can you calculate out the maximum of the total value the bone collector can get ?
简单释义
很久以前，在Teddy的家乡有一个被称作 “骨头收集者” 的人。这个人喜欢收集各式各样的骨头 —— 狗的，牛的，当然他也经常会去墓地转转......(是个狼灭)
这个人有一个总容量为V的背包，而在他的旅途中他有很多骨头要收集。而很明显，不同的骨头有着不同的体积和不同的价值。现在给定他找到的每个骨头都是什么样的，请计算这人能装进包里、收集到的骨头的最大价值是多少？
Input
The first line contain a integer T , the number of cases.
Followed by T cases , each case three lines , the first line contain two integer N , V, (N <= 1000 , V <= 1000 )representing the number of bones and the volume of his bag. And the second line contain N integers representing the value of each bone. The third line contain N integers representing the volume of each bone.
输入格式
输入第一行包含一个整数T，代表不同情况的数量（多组数据）。
跟随的T种情况一个情况有三行，第一行包含两个整数N、V（N<=1000，V<=1000）代表骨头的数量和他背包的容量。第二行包含N个整数代表每块骨头的价值。第三行包含N个整数代表每块骨头的体积。
Output
One integer per line representing the maximum of the total value (this number will be less than (2^{31})).
输出格式
每行一个整数，代表总价值的最大值（这个数字不大于(2^{31})）。
输入样例
1
5 10
1 2 3 4 5
5 4 3 2 1
输出样例
14
题目分析
动态规划，即要求在各种可能的局部的解中，找到那些可能达到最优的解的局部解并找到最优解，而放弃其他的解，以此实现“大事化小，小事化了”。
以本题来说，这个狼灭装包有成千上万种方法，就有成千上万种局部解，而我们要找到的是价值最大的那一种，而这一种是成千上万种方法中的一种，也就是局部解的一种，而这一种是最优解。
我们给一组数据：
1
3 5
5 12 20
1 2 4
首先我们可以这样保存数据：
这个狼灭的每个骨头的体积是v[b]，价值是w[b]，给每个骨头编个号就是b，在前面已经声明好了：
int T;
scanf("%d",&T);
for(int c=1;c<=T;c++)
{
int N,V;
scanf("%d%d",&N,&V);
for(int b=1;b<=N;b++)
scanf("%d",&w[b]);
for(int b=1;b<=N;b++)
scanf("%d",&v[b]);
}
而他选择要如何装包的过程，就是他 做决策 的过程。
先来看他拿的第一块骨头：
这块骨头的价值是5，体积是1。
我们只有这一块骨头，那么无论我们的背包有多大，我们都只能放这一块骨头进去。那么就有这样的关系：
| 总价值 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | ...... | 背包体积 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | ...... | |
| 骨头编号 |
现在这个狼灭又捡来了他的第二块骨头：那么他的背包体积要是比3大的话，他就可以装进两块骨头了：
——
他的背包体积为1，他只能放一块骨头1，价值是5，这也是最大价值；
他的背包体积为2，他可以放一块骨头2，价值是12，是最大价值；
他的背包体积为3，他可以放一块骨头2和一块骨头1，价值是17，是最大价值；
他的背包体积为4，他仍然只可以放一块骨头2和一块骨头1，价值是17，价值最大；
接下来他的背包体积再怎么大，他也只能放一块骨头2和一块骨头1，所以往后价值都是17：
| 总价值 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | ...... | 背包体积 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | ...... | |
| 2 | 5 | 12 | 17 | 17 | 17 | 17 | 17 | ...... | |
| 骨头编号 |
接下来他搞来了他的第三块骨头：体积4，价值20。
——
他的背包体积为1，他只能放一块骨头1，价值是5，这也是最大价值；
他的背包体积为2，他可以放一块骨头2，价值是12，是最大价值；
他的背包体积为3，他可以放一块骨头2和一块骨头1，价值是17，是最大价值，到这和前面都一样。
他的背包体积为4，他就可以放一块骨头3了，那价值是20，最大了；
他的背包体积为5，他可以放一块骨头3外加一块骨头1，这是25；
他的背包体积为6，他可以放一块骨头3外加一块骨头2，这是32；
他的背包体积为7，他可以放一块骨头3、一块骨头2、一块骨头1，那么就是37；
再往后的话，他无论如何也只能装这3块骨头了，往后都是37。
| 总价值 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | ...... | 背包体积 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | ...... | |
| 2 | 5 | 12 | 17 | 17 | 17 | 17 | 17 | ...... | |
| 3 | 5 | 12 | 17 | 20 | 25 | 32 | 37 | ...... | |
| 骨头编号 |
……
既然有了这么个表，我们便可以把这个表记下来。我们来一个数组：
int dp[i][j];//在这里，表示考虑到前i块骨头，背包体积为j，可以获得的最大价值。那么dp[i][j]就是这种情况下的最大价值。
那么这个数组就是：
| dp[i][j] | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | ...... | j |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | ...... | |
| 2 | 5 | 12 | 17 | 17 | 17 | 17 | 17 | ...... | |
| 3 | 5 | 12 | 17 | 20 | 25 | 32 | 37 | ...... | |
| i |
乍一看好像没什么规律，而接下来就是关键——在这个表中找出数据的规律，这也就是动态规划的精华：推导状态转移方程 ——也就是这个狼灭做决策的过程。
然而这个狼灭拿到了一块骨头i，他需要考虑的问题只不过是他要不要把这块骨头i放进包。
他要是决定不放，那么他决策完了就是：dp[i][j]=dp[i-1][j];
——包里东西没变，和[i-1][j]时候的包是一样的；
他要是决定放，那么他决策完了就是：dp[i][j]=dp[i-1][j-v[i]]+w[i];
——他往包里放了一个i号骨头，那么这时候包里就有了这块i号骨头，而体积也被占去了v[i]，但价值多了w[i]——于是反过来想，他放进去之后的dp[i][j]——--》就是他没有放i、体积是j-v[i]时候的那个状态加上i的价值《--！！
（简单的东西拿字母表示出来就有些烧脑了。。。QAQ）
于是他要是决定不放，那么状态[i][j]就是从[i-1][j]那里转移过来的；
他要是决定放，那么状态[i][j]就是从[i-1][j-v[i]]那里转移过来的；
他放不放都行，而我们要找的是价值最大的，所以这个时候的状态就是——
dp[i][j]=max(dp[i-1][j-v[i]]+w[i],dp[i-1][j]);//Note:j>=v[i];
这就是这道题的状态转移方程，接下来我们只消得把它塞进程序里就OK了：
#include<cstdio>
#include<algorithm> //max()的头
using namespace std;
int dp[1080][1080];
int w[1080],v[1080];
int main()
{
int T;
scanf("%d",&T);
for(int c=1;c<=T;c++)
{
int N,V;
scanf("%d%d",&N,&V);
for(int b=1;b<=N;b++)
scanf("%d",&w[b]);
for(int b=1;b<=N;b++)
scanf("%d",&v[b]);
for(int i=1;i<=N;i++)//i个物品
for(int j=0;j<=V;j++)//背包体积为j——转两个循环列举各个情况的状态，并用不同的状态进行转移：
{
if(j>=v[i])//使用状态转移方程
dp[i][j]=max(dp[i-1][j-v[i]]+w[i],dp[i-1][j]);
if(j<v[i])//如果此时背包的体积比这个物体的体积小，那无论如何也放不进去，所以走“不放”的状态转移
dp[i][j]=dp[i-1][j];
}
printf("%d
",dp[N][V]);
}
return 0;
}
……
可以看出来了：他要决定怎么放，那么他的决策有千万多种多，在这里面找出最优状态当然会累S。
而我们从他只有1块骨头开始，推导出两块骨头、三块骨头……并找出其中的联系，就可以找到他有N块骨头应该怎么放，那么我们便很容易在不断的转移过程中找出最优解，这也就是动态规划的“大事化小，小事化了”思维的精华所在。