最近在思考fft中的bit-reverse(位反转)算法,给定一个数列,通过反转每项数字的二进制表示来创建一个新的数列,这个新的数列可以用于FFT中的蝶形算法中。
例如,从1到15:
0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
反转二进制位就是:
1000 0100 1100 0010 1010 0110 1110 0001 1001 0101 1101 0011 1011 0111 1111
一种常见的位反转算法是Gold Rader bit reversal algorithm。对于这个算法,搜到的资料要么一笔带过,要么解释不对,所以我决定把我对这个算法的思路写下来,希望对同样思考这个算法的童鞋有所帮助。
Rader算法伪代码如下:
for i = 0 ... n − 2 do k = n/2 if i < j then swap g(i) and g(j) end if while k ≤ j do j ⇐ j − k k ⇐ k/2 end while j ⇐ j + k end for
代码里面,通过遍历i,找到i的反转j,并在需要交换i和j的项的值(交换是为了输出数列,这里我们并不关心,我们只关心j是怎么来的)。
假设n=16,i和j在遍历过程中的变化如下:
i:0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15(算法中15被优化掉了,我们这里为了便于理解也写上)
j:0 8 4 12 2 10 6 14 1 9 5 13 3 11 7 15
i二进制:0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
j二进制:0000 1000 0100 1100 0010 1010 0110 1110 0001 1001 0101 1101 0011 1011 0111 1111
对于i,太好理解了,正常的加法从0每次加1,加到15。
而j(即i的按位反转),是怎么得到的呢?其实也是“加法”,也是从0开始每次加1,加到“15”,不过不是正常的加法罢了,j的加法规则(加1)如下:
从高位加1,并向低位进位,比如:
111011
+1
------------
000111
=======================
001011
+1
-------------
101011
观察上面两个例子,这个算法用语言描述起来就是:
a,从最高位往低位查找,碰到第一个0,这个0左边(高位)的1都变成0(即加1后依次向低位进位,进到低位出现0为止,进位的位置变成0)。
b,a中碰到第一个0所在的那个位置变成1.(完成向低位进位)
用符合人脑习惯的算法描述就是:
// n是数字个数,一般是2的正整数次方 unsigned int Mask = n; // 从最高位往最低位数查找,碰到第一个0,这个0左边(高位)的1都变成0,即依次向低位进位,进到低位出现0为止。 while (j & (Mask >>= 1)) // 把高位连续出现的1都变成0 j&= ~Mask; // 碰到第一个0所在的那个位置变成1 j |= Mask;
去除位运算的算法描述就是前面Gold Rader算法的伪代码形式了。