数据结构之特殊矩阵

 特殊矩阵：即指非零元素或零元素的分布有一定规律的矩阵，为了节省存储空间， 我们可以对这类矩阵进行压缩存储；即为多个相同的非零元素只分配一个存储空间；对零元素不分配空间

一、稀疏矩阵

稀疏矩阵:设矩阵A中有s个非零元素，若s远远小于矩阵元素的总数，则称A为稀疏矩阵。

如果我们把整个数据存入内存，如果每个单元格一个字节则需要6*5个字节

我们要对稀疏矩阵进行压缩存储： 即只存储稀疏矩阵中的非零元素和矩阵的大小；采用三元组的表示方式

例如：(6,5,30)矩阵大小、（0,3,34）、（1,1,1）、（1,3,3）、（1,4,59）、（2,0,23）、（2,2,12）、(3,1,45)、(3,3,51)、(3,4,46)、(4,2,34)、(5,0,78)、(5,2,56)、(5,4,2)

稀疏矩阵占用空间大小：7*3个字节

二、三角矩阵：上三角矩阵、下三角矩阵

三角矩阵中的重复元素c(常量)可共享一个存储空间，其余的元素正好有n(n+1)/2个，因此，三角矩阵可压缩存储到向量s[0..n(n+1)/2]中，其中c存放在向量的最后一个分量中

================上三角矩阵=================

以主对角线划分，三角矩阵有上三角和下三角两种。上三角矩阵，它的下三角（不包括主对角线）中的元素均为常数或者0，在大多数情况下，三角矩阵常数为零。

 该图就是一个上三角矩阵a(m,n)=a(4,4)是一个4阶的方阵，将该矩阵压缩存储到一维数组S后

下标	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
数据	1	2	3	4	6	7	8	11	12	16	0

• 转换后一维数组的长度：S.length=1+n(n+1)/2
• 最后一个位置：S[n(n+1)/2]=0
• 其他上三角元素的位置在一维数组S的下标：S[i(2n-i+1)/2+j-i ]=a(i,j) ;例如 a(2,3)=S[2*(2*4-2+1)/2+3-2]=S[8]=12

================下三角矩阵=================

以主对角线划分，三角矩阵有上三角和下三角两种。下三角矩阵，它的上三角（不包括主对角线）中的元素均为常数或者0，在大多数情况下，三角矩阵常数为零。

  该图就是一个上三角矩阵a(m,n)=a(4,4)是一个4阶的方阵，将该矩阵压缩存储到一维数组S后

下标	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
数据	1	5	6	9	10	11	13	14	15	16	0

• 转换后一维数组的长度：S.length=1+n(n+1)/2
• 最后一个位置：S[n(n+1)/2]=0
• 其他下三角元素的位置在一维数组S的下标：S[i(i+1)/2+j]=a(i,j) ;例如 a(2,2)=S[2*(2+1)/2+2]=S[5]=11

 三、对称矩阵：

结论：对称矩阵的压缩存储就是使用长度 array[n(n+1)/2-1] 的 一维数组存储对称矩阵

1、下三角

在一个n阶方阵A中，若元素满足下述性质：a(i,j) =a(j,i) 0≤i,j≤n-1 ,则称A为对称矩阵

只要存储矩阵中上三角或者下三角中的元素，让每个对称的元素共享一个存储空间，这样能节省近一半的存储空间

转换后一维数组的长度：S.length=n(n+1)/2
最后一个位置：S[n(n+1)/2-1]
其他下三角元素的位置在一维数组S的下标：S[i(i+1)/2+j]=a(i,j) ;例如 a(2,2)=S[2*(2+1)/2+2]=S[5]=4

2、上三角

 其他上三角元素的位置在一维数组S的下标：S[i(2n-i+1)/2+j-i]=a(i,j) ;例如 a(2,2)=S[2*(2*6-2+1)/2+2-2]=S[11]=4