Alias Method解决随机类型概率问题

举个例子，游戏中玩家推倒了一个boss，会按如下概率掉落物品：10%掉武器 20%掉饰品 30%掉戒指 40%掉披风。现在要给出下一个掉落的物品类型，或者说一个掉落的随机序列，要求符合上述概率。

一般人会想到的两种解法

第一种算法，构造一个容量为100(或其他)的数组，将其中10个元素填充为类型1（武器），20个元素填充为类型2（饰品）...构造完毕之后，在1到100之间取随机数rand，取到的array[rand]对应的值，即为随机到的类型。这种方法优点是实现简单，构造完成之后生成随机类型的时间复杂度就是O(1)，缺点是精度不够高，占用空间大，尤其是在类型很多的时候。

第二种就是一般的离散算法，通过概率分布构造几个点，[10, 30, 60, 100]，没错，后面的值就是前面依次累加的概率之和（是不是像斐波那契数列）。在生成1~100的随机数，看它落在哪个区间，比如50在[30,60]之间，就是类型3。在查找时，可以采用线性查找，或效率更高的二分查找，时间复杂度O(logN)。

这里推荐一个大牛的两篇文章，从数学入手，探讨各种算法实现。《用JavaScript玩转游戏编程(一)掉宝类型概率》 和《实验比较各离散采样算法》 。想深入了解的朋友推荐看看。

参考他的文章中得到两个概念，PDF（密度分布函数）和 CDF（累积分布函数）两种概率分布，分别对应如上两种算法：

T	1	2	3	4
PDF	0.1	0.2	0.3	0.4
CDF	0.1	0.3	0.6	1.0

下面是第二种算法使用二分查找的实现（本文都是用PHP实现）:

<?php
class DiscreteSample
{
	private $cdf;
	private $cnt;
	public function init($pdf)
	{
		$this->cnt = count($pdf);
		if($this->cnt == 0)
			die("pdf size is empty");
		if(abs(array_sum($pdf) - 1) > 0.00001)
			die("pdf sum not equal 1, sum:".array_sum($pdf));
		$this->_pdf2cdf($pdf);
	}
	private function _pdf2cdf($pdf)
	{
		$this->cdf = $pdf;
		for ($i=1; $i < $this->cnt; $i++)
		{ 
			$this->cdf[$i] += $this->cdf[$i - 1];
		}
		//因为浮点型精度问题，最后一个值强制为1
		$this->cdf[$this->cnt - 1] = 1;
	}
	public function next_rand()
	{
		$left = 0;
		$right = $this->cnt;
		$random = mt_rand() / mt_getrandmax();
		while ($left < $right - 1) 
		{
			$mid = intval(($left + $right)/2);
			if($mid - 1 >= $this->cnt) break;
			if($random > $this->cdf[$mid - 1])
				$left = $mid;
			else
				$right = $mid;
		}
		return $left;
	}
}
?>

好了，现在就来说一下Alias Method（别名方法）

在这里我们不深究他的数学原理（http://www.keithschwarz.com/darts-dice-coins/ 这篇文章里详述了其原理），来看看如何使用和实现。譬如说如上的PDF[0.1,0.2,0.3,0.4]，将每种概率当做一列，别名算法最终的结果是要构造拼装出一个每一列合都为1的矩形，若每一列最后都要为1，那么要将所有元素都乘以4（概率类型的数量）

此时会有概率大于1的和小于1的，接下来就是构造出某种算法用大于1的补足小于1的，使每种概率最后都为1，注意，这里要遵循一个限制：每列至多是两种概率的组合。

最终，我们得到了两个数组，一个是在下面原始的prob数组[0.4,0.8,0.6,1]，另外就是在上面补充的Alias数组，其值代表填充的那一列的序号索引，（如果这一列上不需填充，那么就是NULL），[3,4,4,NULL]。当然，最终的结果可能不止一种，你也可能得到其他结果。

等等，这个问题还没有解决，得到这两个数组之后，随机取其中的一列，比如是第三列，让prob[3]的值与一个随机小数f比较，如果f小于prob[3]，那么结果就是3，否则就是Alias[3]，即4。

我们可以来简单验证一下，比如随机到第三列的概率是1/4，得到第三列下半部分的概率为1/4*3/5，记得在第一列还有它的一部分，那里的概率为1/4*(1-2/5)，两者相加最终的结果还是3/10，符合原来的pdf概率。这种算法初始化较复杂，但生成随机结果的时间复杂度为O(1)，是一种性能非常好的算法。

T	1	2	3	4
PDF	0.1	0.2	0.3	0.4
Alias	3	4	4	NULL

下面看看如何实现

<?php
class AliasMethod
{
	private $length;
	private $prob_arr;
	private $alias;

	public function __construct ($pdf)
	{
		$this->length = 0;
		$this->prob_arr = $this->alias = array();
		$this->_init($pdf);
	}
	private function _init($pdf)
	{
		$this->length = count($pdf);
		if($this->length == 0)
			die("pdf is empty");
		if(array_sum($pdf) != 1.0)
			die("pdf sum not equal 1, sum:".array_sum($pdf));

		$small = $large = array();
		for ($i=0; $i < $this->length; $i++) 
		{ 
			$pdf[$i] *= $this->length;
			if($pdf[$i] < 1.0)
				$small[] = $i;
			else
				$large[] = $i;
		}

		while (count($small) != 0 && count($large) != 0) 
		{
			$s_index = array_shift($small);
			$l_index = array_shift($large);
			$this->prob_arr[$s_index] = $pdf[$s_index];
			$this->alias[$s_index] = $l_index;

			$pdf[$l_index] -= 1.0 - $pdf[$s_index];
			if($pdf[$l_index] < 1.0)
				$small[] = $l_index;
			else
				$large[] = $l_index;
		}

		while(!empty($small))
			$this->prob_arr[array_shift($small)] = 1.0;
		while (!empty($large))
			$this->prob_arr[array_shift($large)] = 1.0;
	}
	public function next_rand()
	{
		$column = mt_rand(0, $this->length - 1);
		return mt_rand() / mt_getrandmax() < $this->prob_arr[$column] ? $column : $this->alias[$column];
	}
}
?>