zoukankan      html  css  js  c++  java
  • 数论-模数是素数的同余式(拉格朗日定理)

    Th1:设p是素数,f(x)=an*(x**n)+an-1*(x**n-1)+...+a1*x+a0,n≥1,an≠0 (mod p) (f(x)∈Z[x]),则f(x)≡ 0 (mod p)的解数不超过n(拉格朗日定理)

    证明:

    (f(x)的解集∈{C0,C1,C2...,Cp-1})

    ①若p≤n,则解数≤n

    ②若p>n,(使用归纳法证明)

    当n=1时,a1*x+a0  ≡ 0 (mod p),∵(a1,p)=1(根据an≠0 (mod p)),且(a1,p)|a0,故恰有1个解,此时解数≤n(次数)

    假设当n=n-1时,假设成立,即解数≤n-1,则当n=n时,

    假设f(x)≡ 0 (mod p)有n+1个解,即{Cx0,Cx1,Cx2,...Cxn}(0≤x0,...,xn≤p-1)

    有带余除法(针对多项式)可得,f(x)=(x-x0)*g(x)+r(x)(以(x-x0)为除数,且r(x)的次数会小于除数,∵(x-x0)次数为1,故r(x)次数为0 ,即常数,这里变成r)

    将x=x0带入得,f(x0)=r 

    ∵f(x0)≡0 mod(p)

    ∴r ≡ 0 (mod p)(两边同时加上(x-x0)*g(x))

    ∴r+(x-x0)*g(x) ≡ 0 (mod p)

    ∴f(x)≡(x-x0)*g(x) (mod p)(这里g(x)的最高次项为n-1)

    ∴f(xk)≡(xk-x0)*g(xk) (mod p)

    又∵f(xk) ≡ 0 (mod p), (Cxk-x0,p)=1

    ∴g(xk) ≡ 0 (mod p)

    故g(xk)的最高次数为n-1且有n个解

    又∵根归纳假设,当n=n-1时,解数<=n-1

    故与假设相矛盾,因此当n=n时,有n个解

    Th2:f(x) ≡ 0 (mod p) 的解数>n,则p|ai,i=0,1,...,n

    证明:

    ∵f(x) ≡ 0 (mod p) 的解数>n

    ∴f(x)的最高次项常数an≡0(mod p)(根据Th1,反着来)

    又∵p为素数,故p|an

    ∴f(x)=an*(x**n)+an-1*(x**n-1)+...+a1*x+a0 (mod p)

      =an-1*(x**n-1)+...+a1*x+a0 (mod p)

    此时,次数为n-1,而解数>n(与原本的式子解数一致),故an-1≡0 (mod p),即p|an-1

    以此类推,p| an-3,...p|a1,p|a0,即p|ai(i=0,1,2,...,n)

    Th3:f(x)=(x-1)*(x-2)*(x-3)*...*(x-(p-1))-x**(p-1)+1的所有系数能被p整除

    证明:

    f(x)≡0(mod p)的解x∈{0,1,2,3,...,p-1},且f(x)的次数

    当x=1,2,...p-1时,多项式(x-1)*(x-2)*(x-3)*...*(x-(p-1))=0,即(x-1)*(x-2)*(x-3)*...*(x-(p-1))≡0 (mod p)有p-1个解,故此时f(x)=1-x**(p-1) (mod p)

    又∵(x,p)=1,根据欧拉定理,x**φ(p)≡1 (mod p)

    ∵p为素数,故1-1≡0(mod p)(对于同余式x**φ(p)≡1 (mod p),x∈{1,2,3,...,p-1},都成立)

    也就是说,f(x)≡0 (mod p)的解有p-1个

    又∵f(x)本身的项≤p-2,即f(x)的解数>次数,根据Th2,可得p|ai,也就是所有系数可以被p整除

    推论:当x=0时,f(0)=(-1)*(-2)*...*(0-(p-1))=(p-1)!+1,又f(0)正为f(x)常数项系数(根据Th3可知,系数度能被p整除),故p|(p-1)!+1即(p-1)!+1≡0(mod p)(威尔逊定理)

    Th4:p>3,则∑(k=1,p-1)(p-1)!/k≡0 (mod p**2)

    如图:(式子太难打了!)

     推论:如图

     注意:以上的p代表的是奇素数!!!

  • 相关阅读:
    417 Pacific Atlantic Water Flow 太平洋大西洋水流
    416 Partition Equal Subset Sum 分割相同子集和
    415 Add Strings 字符串相加
    414 Third Maximum Number 第三大的数
    413 Arithmetic Slices 等差数列划分
    412 Fizz Buzz
    410 Split Array Largest Sum 分割数组的最大值
    409 Longest Palindrome 最长回文串
    day22 collection 模块 (顺便对比queue也学习了一下队列)
    day21 计算器作业
  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/jane315/p/13792104.html
Copyright © 2011-2022 走看看