递归算法与优化后的算法对比

前段时间看了《【面试】——反应迟钝的递归》中的三个递归算法，斐波那契数列优化后的算法思路确实不错，但是后面2个数列用递归的话，个人感觉有点得不偿失。能不用递归的话，尽量不用，因为有些算法完全可以用数学来解决。因此，本文中将这三个数列的最终算法总结如下。

1、计算数组1,1,2,3,5,8,13...第30位的值

递归算法如下：

        public static int CalculateFibonacciSequence(int index)
        {
            if (index <= 0)
            {
                return 0;
            }

            if (index == 1 || index == 2)
            {
                return 1;
            }

            return CalculateFibonacciSequence(index - 1) + CalculateFibonacciSequence(index - 2);
        }

用递归算法来计算的话，有很多重复性的操作，采用数组相对来说，效率更高，最终算法如下：

        public static int CalculateFibonacciSequence(int index)
        {
            if (index <= 0)
            {
                return 0;
            }

            if (index == 1 || index == 2)
            {
                return 1;
            }

            int[] fibonacciArray = new int[index];
            fibonacciArray[0] = 1;
            fibonacciArray[1] = 1;

            for (int innerIndex = 2; innerIndex < fibonacciArray.Length; innerIndex++)
            {
                fibonacciArray[innerIndex] = fibonacciArray[innerIndex - 1] + fibonacciArray[innerIndex - 2];
            }

            return fibonacciArray[index - 1];
        }

对于斐波那契数列，通用公式为Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*），直接循环计算一次就可以获得所需的值。

2、计算1+2+3+4+...+n的值

递归算法如下：

        public static int CalculateNumberSequenceCount(int index)
        {
            if (index <= 0)
            {
                return 0;
            }

            return CalculateNumberSequenceCount(index - 1) + index;
        }

当数字（index）很大时，用上面的递归算法肯定是有问题的，我们看下最终的算法，如下所示：

        public static int CalculateNumberSequenceCount(int index)
        {
            if (index <= 0)
            {
                return 0;
            }

            return index * (index + 1) / 2;
        }

对于1+2+3+4+...+n，完全是高中数学的等差数列求和的一个特例。1+2+3+4+......+n等于（首项+末项）*项数/2，所以结果为n(n+1)/2 。这个完全可以不用递归来进行计算，公式套用一下就解决了。

3、计算1-2+3-4+5-6+7+...+n的值

递归算法如下：

        public static int CalculateNumberSequence(int index)
        {
            if (index <= 0)
            {
                return 0;
            }

            return index % 2 == 0 ? CalculateNumberSequence(index - 1) - index : CalculateNumberSequence(index - 1) + index;
        }

对于1-2+3-4+5-6+7+...+n，可以分为2种情况，分别为：

（1）当n是偶数时，1-2+3-4+5-6+7+...+n=(1-2)+(3-4)+(5-6)+……+[(n-1)-n]

                                                            =-1×（n/2）

                                                            =-n/2

（2）当n是奇数时，1-2+3-4+5-6+7+...+n=(1-2)+(3-4)+(5-6)+……+[(n-2)-(n-1)]+n

                                                            =-1×(n-1)/2 +n

                                                            =(n+1)/2

因此，最终的算法如下：

        public static int CalculateCrossNumberSequence(int index)
        {
            if (index <= 0)
            {
                return 0;
            }

            return index % 2 == 0 ? -index / 2 : (index + 1) / 2;
        }

能够用数学解决的问题，尽量不要用递归来进行计算。当然，很多情况还是需要用递归的。这里并不是说递归算法不好，只能说具体问题采用最优方式来解决才是最终的方案，希望对各位有所帮助。