动态规划之矩阵链乘法

矩阵链相乘

矩阵链乘法
求解矩阵链相乘问题时动态规划算法的另一个例子。给定一个n个矩阵的序列（矩阵链）<A1,A2,...,An>，我们希望计算它们的乘积 A1A2...An

两个矩阵A和B只有相容(compatible)，即A的列数等于B的行数时，才能相乘。如果A是p×q的矩阵，B是q×r的矩阵，那么乘积C是p×r的矩阵。计算C所需要时间由第8行的标量乘法的次数决定的，即pqr。
   以矩阵链<A1,A2,A3>为例，来说明不同的加括号方式会导致不同的计算代价。假设三个矩阵的规模分别为10×100、100×5和5×50。
   如果按照((A1A2)A3)的顺序计算，为计算A1A2(规模10×5)，需要做10×100×5=5000次标量乘法，再与A3相乘又需要做10×5×50=2500次标量乘法，共需7500次标量乘法。
   如果按照(A1(A2A3))的顺序计算，为计算A2A3(规模100×50)，需100×5×50=25000次标量乘法，再与A1相乘又需10×100×50=50000次标量乘法，共需75000次标量乘法。因此第一种顺序计算要比第二种顺序计算快10倍。

矩阵链乘法问题(matrix-chain multiplication problem)可描述如下：给定n个矩阵的链<A1,A2,...,An>，矩阵Ai的规模为p(i-1)×p(i) (1<=i<=n)，求完全括号化方案，使得计算乘积A1A2...An所需标量乘法次数最少。

递推关系式

https://blog.csdn.net/Neo_kh/article/details/81282025
①如果i=j，m[i,j]=0

②如果i<j，m[i,j]=min{m[i,k]+m[k+1,j]+p(i-1)p(k)p(j)}  i<=k<j

#include <bits/stdc++.h>
#define max_size 400
#define INF 100000000
long long s[max_size][max_size];//保存构造最优解信息
long long p[max_size];//矩阵规模的记录
long long m[max_size][max_size];//记录最优值

void  matrix_chain_order(int n)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        m[i][i]=0;//初始化最优值(起始于1,结束于n)
    }
    for(int l=2;l<=n;l++)//l表示矩阵链的长度
    {//计算每一条对角线的最优值
        for(int i=1;i<=n-l+1;i++)
        {
            int j=i+l-1;
            m[i][j]=INF;
            s[i][j]=0;
            for(int k=j-1;k>=i;k--)//解决方案优先选取先左边的矩阵
            {//②如果i<j，m[i,j]=min{m[i,k]+m[k+1,j]+p(i-1)p(k)p(j)}  i<=k<j
                int q=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
                if(q<m[i][j])
                {
                    m[i][j]=q;
                    s[i][j]=k;
                }
            }
        }
    }
}

void print_optimal_parents(int i,int j)//打印最优解的结果
{
    if(i==j)
        printf("A%d",i);
    else
    {   //中序二叉树?
            printf("(");
            print_optimal_parents(i,s[i][j]);
            print_optimal_parents(s[i][j]+1,j);
            printf(")");
    }
}

int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        memset(p,0,sizeof(p));
        for(int i=0;i<=n;i++)
        {
            scanf("%lld",&p[i]);
        }
        matrix_chain_order(n);
        print_optimal_parents(1,n);
        printf("
");
    }
}

小结:
动态规划算法设计要素
1.多阶段决策过程,每步处理一个子问题,界定子问题的边界
2.列出优化函数的递推方程及初值
3.问题要满足优化原则或最优子结构性质,即:一个最优决策序列的任何子序列本身一定是相对于子序列的
初始和结束状态的最优决策序列
拓展: 递归实现

#include<string>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;

int n;
int p[100];
int m[100][100];
int s[100][100];
int dp(int i,int j){
    if(i==j)               /*如果只有一个矩阵就直接返回*/
        return m[i][j];
    m[i][j]=999999999;     /*将m[i][j]设为无穷大*/
    s[i][j]=i;
    for(int k=i;k<j;k++){  /*将i到j个矩阵分为i到k和k+1到j个矩阵*/
        int q=dp(i,k)+dp(k+1,j)+p[i-1]*p[k]*p[j]; 
        if(q<m[i][j]){      /*如果有更小的方案更新*/
            m[i][j]=q;
            s[i][j]=k;
        }
    }
    return m[i][j];         
}
int main(){
    while(cin>>n){
        for(int i=0;i<=n;i++){  /*输入矩阵链*/
            cin>>p[i];
        }
        memset(m,0,sizeof(m));    /*初始化*/
        dp(1,n);                    /*查找目标1到n个矩阵链乘*/
        cout<<m[1][n]<<" "<<s[1][n]<<endl;
    }
    return 0;
}