线性筛素数（欧拉筛）

线性筛是一个很基础的算法，但是我一直没学。直到一次考试，因为O（n√n）会超时，用了表筛，结果被卡了代码长度，于是开始学习欧拉筛。

算法思路：

  对于每一个数（无论质数合数）x，筛掉所有小于x最小质因子的质数乘以x的数。比如对于77,它分解质因数是7*11，那么筛掉所有小于7的质数*77，筛掉2*77、3*77、5*77。

  好吧，是不是听起来太简单了。。。。没事，重点在证明。

算法证明：

  首先我们要明确证明思路。如果要证明它是对的，只要保证两点：没用重复筛、没有漏筛

  1、没有重复筛。

    我们假设一个合数分解成p1*p2*p3，并且保证p1<p2<p3。我们知道，筛掉这个合数的机会有：p1和p2*p3，p2和p1*p3，p3和p1*p2。但我们知道，我们选择的那个质数必须小于那个合数的最小质因子。比如p2和p1*p3，因为p2>p1,所以这样是筛不到的。唯一会筛的是第一种：p1和p2*p3。

  2、没有漏筛。

  还是假设把这个合数分解质因数a*b*c，保证a<b<c然后我们设s=b*c，s肯定小于刚才那个合数，说明肯定对于它已经筛过，然后a肯定小于s，因为s=b*c，并且a是最小的因子。说明a*s也就是这个合数一定筛过。

证明没看懂的直接看代码吧。。挺好背的。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#define in(a) a=read()
#define REP(i,k,n) for(int i=k;i<=n;i++)
using namespace std;
inline int read(){
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar())
        if(ch=='-')
            f=-1;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar())
        x=x*10+ch-'0';
    return x*f;
}
int prime[1000010],book[1000010];
int n,ind;
int main(){//计算1~n的素数
    in(n);
    REP(i,2,n){
        if(!book[i])  prime[++ind]=i;//如果没有筛过，记录素数
        REP(j,1,ind){//其中记录数组里的素数保证严格递增
            if(i*prime[j]>n)  break;//保证小于n，要不然没有意义
            book[i*prime[j]]=1;//筛去这个合数
            if(!i%prime[j])  break;//如果>=这个数的最小质因子，那就结束
        }
    }
    REP(i,1,ind)  printf("%d ",prime[i]);//输出
}