生日悖论,指如果一个房间里有23个或23个以上的人,那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中,存在两人生日相同的可能性更高。对于60或者更多的人,这种概率要大于99%。从引起逻辑矛盾的角度来说生日悖论并不是一种悖论,从这个数学事实与一般直觉相抵触的意义上,它才称得上是一个悖论。大多数人会认为,23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%。计算与此相关的概率被称为生日问题,在这个问题之后的数学理论已被用于设计著名的密码攻击方法:生日攻击。
著名的生日悖论
23个人里有两个生日相同的人的几率有多大呢?
居然有50%
问题是这样的: 如果一个房间里有23个或23个以上的人,那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中,存在两人生日相同的可能性更高。对于60或者更多的人,这种概率要大于99%。
不计特殊的年月,如闰二月。
先计算房间里所有人的生日都不相同的概率,那么
第一个人的生日是 365选365
第二个人的生日是 365选364
第三个人的生日是 365选363
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第n个人的生日是 365选365-(n-1)
所以所有人生日都不相同的概率是:
![](http://d.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D218/sign=61c31c21ec50352ab56122096b42fb1a/b8389b504fc2d562de05c37be21190ef76c66c12.jpg)
那么,n个人中有至少两个人生日相同的概率就是:
![](http://f.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D244/sign=1df860850cf79052eb1f403a38f2d738/9213b07eca806538318bb78592dda144ac3482c6.jpg)
所以当n=23的时候,概率为0.507
当n=100的时候,概率为0.999999692751072
对于已经确定的个人,生日不同的概率会发生变化。下面用随机变量计算:
令X[i,j]表示第i个人和第j个人生日不同的概率,则易知任意X[i,j]=364/365
令事件A表示n个人的生日都不相同
P(A)=
![](http://c.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D182/sign=3d50ff3f0e46f21fcd345a5bc4266b31/b3b7d0a20cf431ad2175f2fd4f36acaf2fdd984b.jpg)
解P(A)<1/2,由对数可得:n>=23
相比之下,随机变量也同样的简单易懂
,且计算起来要方便得多