hdu 2062 Subset sequence 解题报告

hdu 2062 Subset sequence

hdu 2062传送门：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2062

Problem Analyse

	考虑一个集合 An = { 1, 2, ..., n}。比如，A1={1}，A3={1,2,3}。我们称一个非空子集元素的排列为一个子集序列。对所有的子序列按字典顺序排序。你的任务就是给出第m个子序列。

Algorithm Analyse

首先我们来看看An一共有多少个子集。 n=1时,只有{1}一个子集合 n=2时，就有: {1}, {2}, {1, 2}, {2, 1} 4个子集合。 n=3时，有 {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 1}, {2, 3}, {3, 1}, {3, 2}, {1, 2, 3}, {1, 3, 2}, {2, 1, 3}, {2, 3, 1}, {3, 1, 2}, {3, 2, 1} 也许你发现规律了。An子集合的个数为: C1n·A11 + C2n·A22 + ... + Cnn·Ann 这个公式是对的。但我们换个角度看。 n=3时，有 {1} {1, 2} {1, 2, 3} {1, 3} {1, 3, 2} {2} {2, 1} {2, 1, 3} {2, 3} {2, 3, 1} {3} {3, 1} {3, 1, 2} {3, 2} {3, 2, 1} 不难发现，An可以按首数字分成n组，而每组里除了第一项，剩下的就是An-1的子集合了。 ∴f(n) = n[f(n-1) + 1] f(1) = 1 我们拿测试数据3 10来做个示范，解释一下怎么求解。 因为n=3，所以开始数组里1、2、3三个数。 我们知道，n=2时，有4种排列，所以上面n=3可以分成三组，每组5个(加上空集)。 因此第10个在第二组里。所以第一个是2，把2输出。原来的数组里删除2，变成1、3两个数。然后10 - (2 - 1) * 5 = 5，即它在第2组的第5个。 减去首个空集合，5 - 1 = 4 ≠ 0，表示2后面还有数字。 因为A1 = 1是，所以再第2组里又可以分成两组，每组2个(加上空集)。 所以，4在第2组，剩下的数组中，第二个元素是3，所以输出3。再把数组里的3删除，剩下1一个数。 然后4 - (2 - 1) * 2 = 2，既它是第2组的第2个。 减去首个空集，2 - 1 = 1 ≠ 0，表示2后面还有数字。 按上面的方法继续下去，直到n = 0 或 后面为空集为止。 最后输出数组里的第1个元素，就得到2 3 1，就是解了。 从上面的计算可以看出来，本题目的关键是先求的An中每一组的个数g(n) 不难得出:g(n) = f(n) / n ∵f(n) = n[f(n-1) + 1] ∴g(n) = n[f(n-1) + 1] / n = f(n-1) + 1 ∵f(n-1) = (n-1) * g(n-1) ∴g(n) = (n-1) * g(n-1) + 1

代码如下：

#include <stdio.h>


int main()
{
    int i,n,t;//n：一共多少元素<=20。t：所求子集位于分组后的第几组
    __int64 m;//位于第几个子集
    __int64 c[21]={0};//后面将子集分组后平均每组个数，如:c[2]表示n=2时的分组每组中子集数
    int s[21];//后面将子集按字典序分组后每组的初始首元素,组数<=20


    for (i=1;i<21;i++)
        c[i]=c[i-1]*(i-1)+1;//推导出来的c[n]=(n-1)*c[n-1]+1
    while (scanf("%d%I64d",&n,&m)!=EOF)
    {
        for(i=0;i<21;i++)
            s[i]=i;//每循环一次就重新归位每组首元素
        while (n>0&&m>0)
        {
            t=m/c[n]+(m%c[n]>0?1:0);
            if(t>0)//得到第m个子集在分组后的第t组,若t>0
            {
                printf("%d",s[t]);
                for(i=t;i<=n;i++)
                    s[i]=s[i+1];//或s[i]+=1,我们发现:第n组中，第2个元素在第n个时变为它的下一个数
                m-=((t-1)*c[n]+1);//减去(t-1组总子集数+1）,m变为表示在剩余子集中位于第几个
                putchar(m==0?'\n':' ');
            }
            n--;//依次递减,直到执行上面的if代码或退出
        }


    }
    return 0;
}

具体操作步骤如下：

程序必需因素：

    1、每组子集的个数c[n];

    2、每组子集的首元素;

    3、所求子集位于当前分组后的第几组中t

    4、所求子集位于该组的第几个

主要递归步骤：

1、求出所在组t

2、输出所在组t的首元素s[t](同一组首元素相同)

3、将该子集的下一个元素到最后一个的值+1,注意这个规律：在第i组，首元素为i，删除首元素后，在第i个子集后首元素均变大+1.

程序步骤实例解说：

n=3，m=10时，有
{1}
{1, 2}
{1, 2, 3}
{1, 3}
{1, 3, 2}
{2}
{2, 1}
{2, 1, 3}
{2, 3}
{2, 3, 1}
{3}
{3, 1}
{3, 1, 2}
{3, 2}
{3, 2, 1}


1。求得t=2
先输出第2组首元素2，再去掉前面不需要的分组，和首元素,剩下唯一一组子集：
因此此时m-=((t-1)*c[n]+1)=4
//{}
{1}
{1, 3}
{3}
{3, 1}
此时的s[t~~n]均变大+1
2。然后再分成两组， t=m/c[n]+(m%c[n]>0?1:0)求得当前在第t=2组
输出第2组首元素3，再去掉前面不需要的分组，和首元素,剩下唯一一组子集
因此此时m-=((t-1)*c[n]+1)=1
//{}
{1}
3。然后剩最后一组， t=m/c[n]+(m%c[n]>0?1:0)求得当前在第t=1组
输出第1组首元素1，和首元素,剩下唯一一组子集
{}//空集
因此此时m-=((t-1)*c[n]+1)=0
最后退出。