Dijkstra算法是处理单源最短路径的有效算法，但它局限于边的权值非负的情况，若图中出现权值为负的边，Dijkstra算法就会失效，求出的最短路径就可能是错的。这时候，就需要使用其他的算法来求解最短路径，Bellman-Ford算法就是其中最常用的一个。该算法由美国数学家理查德•贝尔曼（Richard Bellman, 动态规划的提出者）和小莱斯特•福特（Lester Ford）发明。Bellman-Ford算法的流程如下：
给定图G(V, E)（其中V、E分别为图G的顶点集与边集），源点s，
· 数组Distant[i]记录从源点s到顶点i的路径长度，初始化数组Distant[n]为, Distant[s]为0；
·
以下操作循环执行至多n-1次，n为顶点数：
对于每一条边e(u, v)，如果Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]，则另Distant[v] =Distant[u]+w(u, v)。w(u, v)为边e(u,v)的权值；
若上述操作没有对Distant进行更新，说明最短路径已经查找完毕，或者部分点不可达，跳出循环。否则执行下次循环；
· 为了检测图中是否存在负环路，即权值之和小于0的环路。对于每一条边e(u, v)，如果存在Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]的边，则图中存在负环路，即是说改图无法求出单源最短路径。否则数组Distant[n]中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。
可知，Bellman-Ford算法寻找单源最短路径的时间复杂度为O(V*E).
首先介绍一下松弛计算。如下图：
松弛计算之前，点B的值是8，但是点A的值加上边上的权重2，得到5，比点B的值（8）小，所以，点B的值减小为5。这个过程的意义是，找到了一条通向B点更短的路线，且该路线是先经过点A，然后通过权重为2的边，到达点B。
当然，如果出现一下情况
则不会修改点B的值，因为3＋4>6。
Bellman－Ford算法可以大致分为三个部分
第一，初始化所有点。每一个点保存一个值，表示从原点到达这个点的距离，将原点的值设为0，其它的点的值设为无穷大（表示不可达）。
第二，进行循环，循环下标为从1到n－1（n等于图中点的个数）。在循环内部，遍历所有的边，进行松弛计算。
第三，遍历途中所有的边（edge（u，v）），判断是否存在这样情况：
d（v） > d (u) + w(u,v)
则返回false，表示途中存在从源点可达的权为负的回路。
之所以需要第三部分的原因，是因为，如果存在从源点可达的权为负的回路。则应为无法收敛而导致不能求出最短路径。
考虑如下的图：
经过第一次遍历后，点B的值变为5，点C的值变为8，这时，注意权重为－10的边，这条边的存在，导致点A的值变为－2。（8＋ －10＝－2）
第二次遍历后，点B的值变为3，点C变为6，点A变为－4。正是因为有一条负边在回路中，导致每次遍历后，各个点的值不断变小。
在回过来看一下bellman－ford算法的第三部分，遍历所有边，检查是否存在d（v） > d (u) + w(u,v)。因为第二部分循环的次数是定长的，所以如果存在无法收敛的情况，则肯定能够在第三部分中检查出来。比如
此时，点A的值为－2，点B的值为5，边AB的权重为5，5 > -2 + 5. 检查出来这条边没有收敛。
所以，Bellman－Ford算法可以解决图中有权为负数的边的单源最短路径问。
poj3259
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 10010;
const int INF = 999999;
struct Edge
{
int u;
int v;
int t;
} ;
Edge edge[N];
int num;
int n,m,w;
int dis[N] ;
bool Bellman_ford()
{
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
dis[i] = INF;
}
bool flag ;
for(int i = 1; i < n; i++)
{
flag = false;
for(int j = 1; j <= num; j++)
{
if(dis[edge[j].v] > dis[edge[j].u] + edge[j].t)
{
dis[ edge[j].v ] = dis[edge[j].u] + edge[j].t;
flag = true;
}
}
if( !flag )
break;
}
for(int j = 1; j <= num; j++)
if(dis[ edge[j].v ] > dis[edge[j].u] + edge[j].t)
return true;
return false;
}
int main()
{
int F,a,b,c;
int tt;
cin >> F;
while(F--)
{
cin >> n >> m >> w;
num = 0;
memset(edge,0,sizeof(edge));
for(int i = 1; i <= m; i++)
{
cin >>a >> b >>c;
num ++; //无向图
edge[num].t = c;
edge[num].u = a;
edge[num].v = b;
num ++;
edge[num].t = c;
edge[num].u = b;
edge[num].v = a;
}
for(int i = 1; i <= w; i++)
{
cin >> a >> b >> tt;
edge[++num].t = -tt;
edge[num].u = a;
edge[num].v = b;
}
if( Bellman_ford() )
cout << "YES\n";
else
cout << "NO"<<endl;
}
return 0;
}