堆排序

堆排序

参考资料

1 算法导论

2 数据结构（C语言版）

堆的概述

( 二叉 ) 堆数据结构是一种数组对象，它可以被视为一颗完全二叉树。树中每个节点与数组中存放该节点值的那个元素对应。数的每一层都是填满的，最后一层可能除外。表示堆的数组A是一个具有两个属性的对象：length [ A ] 是数组中的元素个数，heap-size [A] 是存放在A 中的堆的元素个数。

根据完全二叉树的性质，我们可以总结出如下性质：数的根为A [ 1 ] ，对于某个结点的下标 i ，其父节点为 Parent[i] = i/2 ，左孩子 Left[ i ] = 2*i ，右孩子 Right[ i ] = 2*i + 1，该部分的结论是显而易见的。( 可参考二叉树章节)

在具体的代码实现中，左孩子2*i 可通过左移1位来实现，即i << 1；同理，右孩子为左移1位加1或者与1作或运算，即 i << 1 + 1 或 i << 1|1 ；父节点为 i >> 1 。算法导论中建议将这些计算过程通过“宏”或“内联函数”实现。

二叉堆有两种：大堆 ( 大根堆 ) 和小堆 ( 小根堆 )。大堆与小堆内部的节点需要满足堆的特点。对于大堆来说，节点i (非根节点) ，i 的值 <= i 的父节点的值，根节点是最大的值。

对于小堆来说，节点i ( 非根节点) ，i 的值 <= i 的左右孩子节点的值，根节点的值时最小的。

堆可以被看成是一棵树，而且是一颗完全二叉树，假设该堆有 n 个节点，那么该堆的高度为 lg n 。

建小堆过程

现有8个元素的无序序列A = { 49,38,65,97,76,13,27,49 }，将该序列建立为一个完全二叉树A。如下图 A 所示

1 我们从第 4 (完全二叉树共8个节点，第8个节点的父节点为 4 ，所以从4处开始调整 ) 个节点开始调整。此时 A[4] > A[8]，于是将两者位置对换。如下图B所示

2 此时从第3个节点 ( 节点65 ) 开始调整，65 和它的两个孩子比较，发现13较小，于是将13 与 65 对换。如下图 C 所示。

3 第3个节点比较完之后，我们往回退，从第2个节点开始调整。此时第2个节点比孩子节点都小，故不作调整。

4 于是又回退，从第1个节点开始进行调整。第1个节点与两个孩子比较，发现右孩子较小，于是将13与 49 进行对换。如下图 D 所示。

5 对换之后，49又比它的孩子节点27 大，于是又需要调整。如下图E所示。至此整个调整完成，图E即所要求的小堆的特性。

建小根堆代码

//调整小根堆,从节点i 开始调整   

//存放到数组中的节点是从1开始的
void min_heapify(int *a, int i , int len)
{
    int smaller = i;
    int l = i << 1;
    int r = i <<1 | 1;
    if( l <= len && a[l] < a[smaller])
        smaller = l ;
    if( r <= len && a[r] < a[smaller] )
        smaller = r ;
    if( smaller != i)  //i节点比孩子节点中至少1个要大，此时需要调整
    {
        int tmp = a[i];
        a[i] = a[smaller];
        a[smaller] = tmp;         
        min_heapify(a,smaller,len);   //为什么从smaller位置开始调整？ 因为此处的值进行了与其父节点互换

                                     //所以这个位置可能破坏了堆的特性，需要重新调整，而smaller的兄弟节点没有动，故其堆特性没有发生变化，不需要调整
    }
}

//建立小根堆
void build_min_heap(int *a , int len)
{
    for( int i = len/2 ; i >=1; i--)
        min_heapify( a , i,len );
}

堆排序算法

堆排序演示

堆排序我们以小根堆来进行排序。我们知道小根堆中的非叶子节点总是比它的孩子节点要小。当我们建立了一个小根堆之后，只需要取出根节点，该根节点也就是待排序序列的第一个元素了。此时将根节点与小根堆中最后一个元素A[n]互换，此时A[n]元素成了根节点，必然破换小根堆的特性，于是需要对小根堆进行调整了。调整完之后，新的小根堆的根节点就是新小根堆的最小元素了，于是又与小根堆的A[n-1]互换，以此循环下去，直到只剩2个节点。

堆排序算法的伪码如下

HEAPSORT ( A)
BUILD-MIN-HEAP(A)
for i ← length [ A ]  downto 2
do  exchange  A [ 1 ] -- A [ i ]
    heap-size [ A ] ← heap-size [ A ]-1
    MIN-HEAPIFY ( A )

堆排序代码

//堆排序
void heap_sort(int *a , int len)
{
    build_min_heap(a, len);
    for(int i = len ; i >= 2; i--)
    {
        cout << a[1] << ' ';
        a[1] = a[i];
        min_heapify(a,1,i-1);
    }
    cout << a[1] << endl;
}

演示代码

PS：只要将上述代码合并到一起并添加相应的头文件即可运行

int main()
{
    int a[9] = {0,49,38,65,97,76,13,27,49};
    build_min_heap(a,8);

    cout << "建堆 ：" << endl;
    for(int i = 1; i <=8; i++)
        cout << a[i] << ' ';

    cout << endl;
    cout << "堆排序 ：" << endl;
    heap_sort(a,8);
    cout << endl;
    return 0;
}